Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
°ние метода. Геометрически это выглядит так:
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
Графическая иллюстрация метода Симпсона. Красной линией изображен график функции y = f(x), синей линией показано приближение графика функции y = f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.
Рис. 8
Блок схема
begin
Текст задачи
const=1;=2;=0.00001;e,z,h,ss,s,x:real;:integer;y(x:real):real;:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;;:=b-a;:=k3+1;:=s;:=h/2;:=y(a)+y(b);:=a+h;:=-1;x<b do:=-z;:=s+y(x)*(3+z);:=x+h;;:=s*h/3;:=abs((ss-s)/s);(k3=,k3, ,s=,s:0:7, ,e=,e:0:7);
until<=ee;.
Результаты
kse10.89928921.000000020.89921580.000081630.89921110.0000052
Вывод
В данном методе наименьшее количество итераций и средняя сложность написания текста задачи. Достоинство данного метода заключаются в том, что он является самым точным среди методов прямоугольников и трапеций.
3.2 Метод прямоугольников
Теоретические сведения
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл. Так же как в методе парабол разбиваем отрезки.
Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму. Если отрезок интегрирования [a; b] разбить на равные части длины h точками, и в качестве точек выбрать середины элементарных отрезков, то приближенное равенство
можно записать в виде
.
Это и есть формула метода прямоугольников. Ее еще называют формулой средних прямоугольников из-за способа выбора точек.
называют шагом разбиения отрезка [a; b]. Приведем графическую иллюстрацию.
Рис. 9 Из чертежа видно, что подынтегральная функция y = f(x) приближается кусочной ступенчатой функцией
на отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения для неотрицательной функции y = f(x) на отрезке [a; b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников - площадь ступенчатой фигуры.
Рис. 10 Рис. 11 Перейдем к оценке абсолютной погрешности метода прямоугольников. Сначала оценим погрешность на элементарном интервале. Погрешность метода прямоугольников в целом будет равна сумме абсолютных погрешностей на каждом элементарном интервале.
Блок схема
Текст задачи
=1;
bb=2;=1;=0.00001;a,b,s,ss,e,deltax,x:real;,n:integer;f(x:real):real;:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;;:=aa; b:=bb; n:=nn;begin ss:=s;:=k+1;:=0;:=n*2;:=(b-a)/n;:=a;x<b do begin:=s+f(x)*deltax;:=x+deltax;;:=abs((ss-s)/s);(k= ,k, ,s= ,s:0:7, ,e= ,e:0:7);;e<ee;.
Результаты
kse11.17050481.000000021.04407210.121095830.97394340.072004940.93715250.039258250.91832550.020501460.90880410.010476870.90401650.005296080.90161590.002662590.90041390.0013349100.89981250.0006684110.89951170.0003344120.89936130.0001673130.89928610.0000836140.89924840.0000418150.89922960.0000209160.89922020.0000105170.89921550.0000052
Вывод
В данном методе наибольшее количество итераций, средняя сложность написания текста задачи, менее точный среди методов парабол и трапеций.
3.3 Метод Трапеций
Теоретические сведения
Пусть нам требуется вычислить определенный интеграл, где y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n равных интервалов длины h точками. В этом случае шаг разбиения определяется так же как в методе парабол. Рассмотрим функцию на элементарных отрезках [x(i-1);x(i)]. Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при увеличении n):
На каждом отрезке [x(i-1);x(i)] заменим функцию y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки и . На рисунке показаны синими линиями:
В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение
Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. В первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями f(x(i-1)), f(x(i)) и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(x(i-1)), -f(x(i))и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.
Рис. 11
Рис. 12
Блок схема
Текст задачи
Const aa=1; bb=2; ee=0.00001; nn=1;a,b,s,ss,e,deltax,x:real;,n:integer;f(x:real):real;:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;;:=aa; b:=bb; n:=nn;ss:=s;:=k+1;:=0;:=n*2;:=(b-a)/n;:=a;x<b do begin:=s+deltax*(f(x)+f(x+deltax))/2; x:=x+deltax;;:=abs((ss-s)/s);(k=,k, ,s=,s:0:7, ,e=,e:0:7);
until e<ee;.
Результаты
kse10.86236881.000000020.89000410.031050830.89690940.007699040.89863550.001920850.89906700.000480060.89917490.000120070.89920180.000030080.89920860.0000075
Вывод
В данном методе небольшое количество итераций, средняя точность относительно методов Симпсона и прямоуго?/p>