Математические и программные средства моделирования систем управления
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
также векторы
(3)
то математическую модель (1) можно записать в краткой векторно-матричной форме
(4)
где Х(t)- п- вектор состояния системы; U(t)- т- вектор внешних влияний (управлений); А - матрица динамики системы размером nm (квадратная); В- матрица управления (входа) размером п х т (прямоугольная).
Модель системы в пространстве состояния характеризуется также уравнением выхода:
(5)
где Y(t) - r - вектор выхода системы; С - (r х п) - матрица отображения динамических сменных Х(t) на выход системы; D - (rхт)- матрица компенсации системы (компенсируется погрешность в исходном сигнале системы).
Запишем уравнения (4) в операторной форме. При не нулевых начальных условиях пользуемся формулой Мелина:
(6)
где L [*] - операция преобразования Лапласа; Х(0) - п- вектор начальных условий.
Согласно с выражением (6) можно построить структурную схему модели в пространстве состояния, которая изображенная на рис. 1.
Рис.1.Структурная схема системы в пространстве состоянияРис.2.Модифицированная структурная схема системы
Значительное количество реальных систем характеризуются одним (скалярным) управляющим влиянием (например, напряжение, которое подается в двигатель U(t)) и одним возмущающим влиянием (статический момент Мc(t)), а также нулевыми начальными условиями: Х(0) = 0. При этом матрицу входа В целесообразно поделить на два п- вектора: Bu и ВM. При таких условиях выражение (6) можно записать в виде
(7)
Тогда структура модели будет иметь вид, приведенный на рис. 2.
Математические модели систем в векторно-матричной форме имеют очень важное практическое значение. Они широко используются в современной теории автоматического управления при аналитическом конструировании регуляторов, разработке оптимальных систем управления, и тому подобное. Векторно-матричной описание позволяет формализировать процедуры решения многих сложных задач, что очень важно при их решении с помощью ЭВМ.
Традиционно объекты управления или системы описывают с помощью передаточных функций и поэтому, возникает задача перехода к математической модели в форме векторно-матричных дифференциальных уравнений. Такой переход от передаточных функций к пространству состояния неоднозначный, в зависимости от вектора фазовых координат. Приведем некоторые с методов такого перехода.
СОСТАВЛЕНИЕ МАТАМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.
.Найдем передаточную функцию системы по задающему воздействию.
Для этого выполним преобразование структурной схемы.
Упростив выражение. и подставив данные получим:
.Найдем передаточную функцию системы по возмущающему воздействию.
Для этого выполним преобразование структурной схемы.
Упростив выражение. и подставив данные получим:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ В ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ЗАПИСИ.
.Метод перенесения производных с входа на выход.
Если передаточная функция объекта содержит операторы Лапласа в числителе, тогда ее удобно предоставить двумя блоками.
Заданный объект в форме передаточной функции:
Изобразим его двумя блоками
Для упрощения берем а5 = 1.
Записываем дифференциальные уравнения для обоих блоков:
где
Вводим обозначения:
Тогда можем записать дифференциальные уравнения в нормальной форме Коши:
К последнему уравнению подставим предыдущее и сводим подобные члены. Вследствие этого получаем:
Окончательно, в векторно-матричной форме уравнения объекта имеют вид
где X- вектор состояния; Y- вектор исходной величины (вектор измерения); U - вектор управления,
2.Метод последовательного интегрирования (аналогового моделирования)
Этот метод целесообразно использовать при наличии операторов Лапласа в числителе передаточной функции. Процедуру определения фазовых координат пространству состояния рассмотрим на примере аналогового моделирования.
Объект задан передаточною функцией
Для упрощения берем a4 = 1 и записываем операторное уравнение:
Из этого выражения получаем:
Последнее уравнение приводим к машинной форме, то есть:
Согласно полученного уравнения, строим структурную схему аналоговой модели, для которой необходимо использовать три интегратора, четыре сумматоры и несколько усилителей.
Структура аналоговой модели
За фазовые координаты пространству состояния берем исходные координаты интеграторов. Тогда, соответственно структурной схеме составляем дифференциальные уравнения первого порядка:
Учитывая, что y = х1 , получаем:
Это уравнения в векторно-матричной и форме имеет вид:
3.Метод декомпозиции структурной схемы объекта до