Математика (билеты)
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
ольшему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2 >a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что если 0 x1 и 0<a<1, тогда a^x2 < a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x при 0<a<1 убывает на всей области определения. 4) Нет таких значений аргумента, при которых значения показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой точки области определения, производная вычисляется по формуле (a^x) = a^x ln a. (график на рисунке 29)
Билет№ 5
1)На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga. Определение Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и Пи/3(-Пи/2;Пи/2).
2)Логарифмической функцией называется функция вида y = loga x, где а -заданное число, a>0, a не рано 1. Свойства логарифмической функции 1) Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа. Это следует из определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции являются все действительные числа. Пусть y0 произвольное действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение логарифмической функции равно у0 (у0 произвольное действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция y=loga x возрастает на всей области определения, если a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 0 0. 6) Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения.
Билет №6
1)Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 точка этого промежутка; ?x приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит этому промежутку; ?y приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t. Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x(t).
2)1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.
Билет № 7
1)Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; ?x-приращение аргумента х; точка х0+??x принадлежит этому промежутку; ?y-приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной.
2)1) На промежутке (-Пи