Активный и пассивный эксперименты идентификации объектов

Контрольная работа - Компьютеры, программирование

Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование

дится вспоминать о статистике: и с этого момента МНК превращается в регрессионный анализ.

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах:

Постулат № 1. Параметр оптимизации есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости - одна из характеристик этого закона распределения.

Постулат № 2. Дисперсия не зависит от абсолютной величины .

Постулат № 3. Значения факторов суть не случайные величины. Это утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Проверка адекватности модели. Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, то есть дисперсии адекватности .

 

 

где - число опытов (МПЭ),

- число коэффициентов модели.

- разность между реальным значением и предсказанным по модели.

Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Например, проведен полный фактический эксперимент и нашли линейное уравнение регрессии,

 

.

 

Примечание: Параллельные опыты нельзя считать самостоятельными, так как они дублируют друг друга. В связи с этим, они все дают одну степень свободы.

Необходимо запомнить правило:

В планировании эксперимента число степеней свободы для равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F критерием Фишера и определяется:

 

,

 

где - дисперсия адекватности;

- дисперсия воспроизводимости.

Удобство использования -критерия состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя строки для знаменателя . На пересечении соответствующих строки и столбца стоят критические значения - критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0,05.

Если рассчитанное значение -критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения гипотеза отвергается. Для запишем общую формулу:

 

,

 

где - число опытов;

- число параллельных опытов в -ой строке матрицы;

- среднее арифметическое из , параллельных опытов;

- предсказанное по уравнению регрессии значение в этом опыте.

 

2. РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ

 

Расчет линейной модели вида по данным, представленным в таблице 2.1

 

Таблица 2.1

№опытаX0X1X2X3X12Y1Y2Y31+---+42.438.239.62++---58.052.854.23+-+--42.228.639.04+++-+73.668.469.65+--++32.029.629.86++-+-46.842.443.47+-++-58.253.454.48+++++76.870.072.4

Необходимо:

1. Определить коэффициенты модели .

. С помощью критерия Стьюдента проверить сомнительные опыты.

. Произвести проверку однородности дисперсий с помощью критерия Фишера или Кохрена. Найти дисперсию воспроизводимости.

. Оценить адекватность полученной модели.

. В случае если модель оказалась адекватной, определить значимые коэффициенты.

Решение:

. Определим коэффициенты модели . Для этого найдем среднее арифметическое из параллельных опытов:

 

,

 

Полученные результаты запишем в таблицу 2.2

 

Таблица 2.2

№опытаY1Y2Y3Y i142.438.239.640.06666667258.052.854.246342.228.639.039.93333333473.668.469.670.53333333532.029.629.830.46666667646.842.443.444.2758.253.454.455.33333333876.870.072.473.06666667

,

 

. С помощью критерия Стьюдента проверим сомнительные опыты. Для этого исключим первый параллельный опыт из расчета и найдем среднее арифметическое и С.К.О. по остальным 2 параллельным опытам:

Найдем дисперсии каждого опыта:

,

 

где - число степеней свободы.

Произведем проверку по критерию Стьюдента:

 

 

Проверим таким же образом все другие опыты, результаты занесем в таблицу 2.3

 

Таблица 2.3

№ опытаY1Y2Y3Y jStэксп142.438.239.638.90.9899493.535535258.052.854.253.50.9899494.545688342.228.639.038.80.28284212.020845473.668.469.6690.8485285.421152532.029.629.829.70.14142116.263496646.842.443.442.90.7071065.515438758.253.454.453.90.7071066.081125876.870.072.471.21.6970563.299832

Из таблицы Стьюдента при числе степеней свободы находим и сравниваем с .

, поэтому результат 5-го опыта можно считать браком.

Определим новое значение 5-го опыта для :

 

Получим новую матрицу планирования эксперимента, результаты занесем в таблицу 2.4

 

Таблица 2.4

№опытаX0X1X2X3X12Y1Y2Y31+---+42.438.239.62++---58.052.854.23+-+--42.228.639.04+++-+73.668.469.65+--++29.729.629.86++-+-46.842.443.47+-++-58.253.454.48+++++76.870.072.4

Для новой матрицы найдем коэффициенты модели . Полученные результаты запишем в таблицу 2.5

 

Таблица 2.5

№опытаY1Y2Y3Y i142.438.239.640.06666667258.052.854.246342.228.639.039.93333333473.668.469.670.53333333529.729.629.829.7646.842.443.444.2758.253.454.455.33333333876.870.072.473.06666667

Уравнение регрессии примет вид:

. Произведем проверку однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена. Найдем дисперсию воспроизводимости.

Результаты занесем в таблицу 2.6

 

Таблица 2.6

№опытаY1Y2Y3Y iS2142.438.239.640.066666674.573333333258.052.854.246128.74342.228.639.039.933333333.893333333473.668.469.670.533333337.413333333529.729.629.829.70.01646.842.443.444.25.32758.253.454.455.333333336.413333333876.870.072.473.0666666711.89333333

Вычи