Активный и пассивный эксперименты идентификации объектов
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
ениями (стоимость сырья, время процесса и т.д.).
Третий тип: ограничения, с которыми чаще всего приходится иметь дело, определяются конкретными условиями проведения процесса (технологией, существующей аппаратурой и т.д.).
оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (примерные графики, таблицы).
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уравнений факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ.).
Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Данная таблица называется матрицей планирования эксперимента (МПЭ).
Отметим ряд свойств, которыми обладает МПЭ. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы:
симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов вектор - столбца каждого фактора равна нулю, или , где - номер фактора, - число опытов, ;
нормирование - сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, то есть ;
Первые 2 свойства вытекают из отдельных столбцов МПЭ. Теперь отметим свойства, вытекающие из совокупности столбцов.
ортогональность МПЭ - сумма почленных произведений любых 2-х вектор - столбцов МПЭ равных нулю .
ротатабельность, то есть точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Вернемся к матрице для движения в точке оптимума воспользуемся линейной моделью . Наша цель - по результатам эксперимента найти коэффициент модели. В данном случае эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель адекватна, где - истинные значения соответствующих неизвестных, а - оценки . Коэффициенты модели вычисляются по очень простой формуле:
,
Коэффициенты при независимых ~ указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет значок +, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, значок - - то уменьшается.
Рассмотрим влияние температуры и времени пребывания на выход продукта . Математическую модель получим в виде полинома 1-й степени линейного уравнения регрессии . Для этого используем планы 1-го порядка, которые строятся следующим образом. Выбирается центр исследуемой области (центр плана), и в него переносится начало координат. Задаются минимальные (min) и максимальные (max) значение входных параметров и . Составляем план эксперимента (рис. 2.2). При этом каждый фактор принимает лишь два значения - варьируется на двух уровнях (верхнем и нижнем).
Рис. 2.2 Область определения матрицы
На следующем этапе переменные кодируются. При этом координаты центра плана приравниваются к нулю, а интервалы варьирования принимают за единицу. Кодированные переменные значительно облегчают обработку результатов опытов, которая в данном случае проводится в стандартной форме, не зависящей от конкретных условий задачи.
Матрица планирования для кодированных переменных имеет вид:
+1+1-++---
На практике для сокращения записи часто вместо +1 и -1 просто пишут +, -. Рассматриваемый план построен так, что каждый фактор варьируется на двух уровнях, причем в опытах перебираются все возможные комбинации двух уровней факторов.
.3 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)
Одним из важных методов приближения функций является МНК, который для выражений определённого вида обеспечивает наилучшее приближение к исходным данным. Он был разработан около 200 лет назад усилиями Лежандра и Гаусса.
Рекомендуется применять МНК отклонений не для исходной задачи, которая имеет нелинейный характер, а для приведённой линейной задачи, когда правые и левые части соответствующих функциональных зависимостей логарифмируются. Такой переход обусловлен в основном двумя причинами:
в математическом плане решение линейной системы проще, чем нелинейной;
для линейной модели сравнительно легко находятся стохастические оценки соответствующих параметров.
Существо метода рассмотрим на простом примере: один фактор, линейная модель.
Рис. 2.3 Пример
Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой точки было бы справедливо равенство:
,
где - номер опыта. На практике это условие не выполняется
,
где - разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями в -ой экспериментальной точке (невязка).
Коэффициент регрессии определяется при условии, когда сумма всех невязок min, то есть , либо
.
Из курса математики известно, что минимум некоторой функции, если он существует, достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по всем неизвестным, то есть
, .
Отсюда берутся уравнения для определения коэффициентов регрессии. Формулу для вычислений коэффициента можно записать так:
,
- номер факторов, .
эксперимент наименьший квадрат оптимизация
1.4 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Как только мы начинаем говорить о пригодности модели или о значимости коэффициентов, прихо