Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными остатками
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
? предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:
1)случайный характер остатков;
2)нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ;
)гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения , одинакова для всех значений ;
)отсутствие автокорреляции остатков - значения остатков распределены независимо друг от друга;
5)остатки подчиняются нормальному распределению.
Если распределение случайных остатков не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.
Прежде всего, проверяется случайный характер остатков - первая предпосылка МНК. С этой целью стоится график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака (рис.2.1). Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения хорошо аппроксимируют фактические значения .
Возможны следующие случаи, если зависит от то:
)остатки не случайны (рис.2.2а);
)остатки не имеют постоянной дисперсии (рис.2.2б);
)остатки носят систематический характер (рис.2.2в).
аб в
Рис.1. Зависимость случайных остатков от теоретических значений .
В этих случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами.
Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что . Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных.
Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии, полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин , что также исследуется в рамках соблюдения второй предпосылки МНК. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений результативного признака строится график зависимости случайных остатков от факторов, включенных в регрессию (рис.2.3).
Рис.2. Зависимость величины остатков от величины фактора .
Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений . Если же график показывает наличие зависимости и , то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные. Возможно, что нарушена третья предпосылка МНК и дисперсия остатков не постоянна для каждого значения фактора . Может быть неправильна спецификация модели и в нее необходимо ввести дополнительные члены от , например . Скопление точек в определенных участках значений фактора говорит о наличии систематической погрешности модели.
Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью - и -критериев. Вместе с тем, оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладают хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки МНК.
Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок.
В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис.2.4).
а б в
Рис.3. Примеры гетероскедастичности.
На рис.2.4 изображено: а - дисперсия остатков растет по мере увеличения ; б - дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях ; в - максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений . Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть и по рассмотренному выше графику зависимости остатков от теоретических значений результативного признака .
Рис.4. Наиболее наглядные графики гомо - и гетероскедастичности
Для множественной регрессии данный вид графиков является наиболее приемлемым визуальным способом изучения гомо - и гетероскедастичности.
При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК - отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения остатков , распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между и , где - остатки текущих наблюдений, - остатки предыдущих наблюдений (например, ), может быть определен как
,
т.е. по обычной формуле линейного коэффициента корреляции. Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероятности зависит от -й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения.
Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих ?/p>