Критерий согласия Пирсона
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
S) = ? по построению
S = [0, ?кр2(r)) доверительная область
Замечание: число ?2(r) находится по таблице распределения ?2. Это число зависит от степеней свободы r и от уровней значимости ?.
Стандартный ?=0,05
Алгоритм критерия Пирсона
1) Формулировка гипотезы
Н0: имеющаяся выборка соответствует закону распределения F(x)
2) Производится группировка выборки и вычисление частот {Pm*}, m=1k
3) Для каждого подынтервала ?m вычисляется вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой гипотезы
?m=[zm; zm+1]
Pm= F(zm+1) F(zm); m=1k
- Вычисляется статистика критерия Пирсона
gn=(n?(Pm+ Pm*)2/ Pm)+n(P0+ Pm+1),
где P0+ Pm+1=1-? Pm, n-объем выборки
Теорема. Если проверяемая гипотеза Н0- верна, то СВ gn называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение
gn ~ ?2(r)
r=k+n1- n2-1
k число интервалов
n1 число дополнительных интервалов
n2 число неизвестных параметров распределения F(x), которые были заменены их оценкой.
- Принятие решения.
Строится критическая область S
S = [?кр2(r); +?)
Если gn Є S, то гипотеза отвергается
Если gn Є S, то гипотеза принимается, как не противоречащая данным
Практическая часть
Вариант № 13
Исходные данные:
набор наблюдений
-11,963-19,197-8,6531,416-16,5340,409-2,982-12,845-19,371-16,969-9,076-2,5900,527-20,332-5,936-12,820-7,841-6,679-20,562-16,5340,525-21,010-7,953-10,732-1,374-12,326-19,110-16,415-16,538-1,626-9,033-6,5830,031-9,910-4,721-2,234-2,665-10,179-9,175-0,370-3,6270,568-1,1395-21,990-5,8541,330-8,380-16,095-12,347-4,892-9,130-3,684-2,105-15,098-6,647-5,758
1.Найдем оценку математического ожидания и выборочную дисперсию.
M[X]= X= 1/n ?Xk = 1/56 [-11,963+(-19,371) +…+ (-5,758)]= -8,661
D[X]= S2= 1/n ?(Xk X) 2= 1/56 [(-11,963 (-8,661)) 2 + (-19,371 (-8,661))2 +…+
+ (-5,758 (-8,661)) 2 = 46,075
M[X]= -8,661
D[X]= 46,075
2. Построение графика выборочной функции распределения и гистограммы.
1). Построим вариационный ряд выборки
-21,990-16,969-12,845-9,910-7,953-5,758-2,5900,031-21,010-16,538-12,820-9,175-7,841-4,892-2,2340,409-20,562-16,534-12,347-9,130-6,679-4,721-2,1050,525-20,332-16,534-12,326-9,076-6,647-3,684-1,6260,527-19,371-16,415-11,963-9,033-6,582-3,627-1,3950,568-19,197-16,095-10,732-8,653-5,936-2,982-1,3741,330-19,110-15,098-10,179-8,380-5,854-2,665-0,3701,416
2). Вычислим выборочные функции распределения
F(x) = mx/n,
mx количество наблюдений меньших или равных числа x
F(-21,99)=1/56=0,02
F(-21,01)=2/50=0,04
……………………….
F(1,33)=49/50=0,98
F(1,416)=50/50=1
3.Построение гистограммы.
1).m номер интервала , m=1,…,k
k число интервалов
nm число наблюдений попавших в каждый интервал
Pm* = nm /n частота
|?m| - длина каждого интервала
hm = Pm*/|?m| - высота столбца
2). Группировка выборки
K=8
|?1|=|?2|=…=|?k|=2,926
Статистический ряд (?m; nm), m=1,…,k
([-21,99; -19,065]; 7), m= 1
((-19,065; -16,139]; 5), m= 2
((-16,139; -13,213]; 2), m= 3
((-13,213; -10,287]; 6), m= 4
((-10,287; -7,361]; 10), m= 5
((-7,361; -4,436]; 8), m= 6
((-4,436; -1,51]; 8), m= 7
((-1,51; 1,416];10), m= 8
3).Найдем частоты для каждого интервала
P1*= 0,125
P2*= 0,09
P3*= 0,036
P4*= 0,107
P5*= 0,179
P6*= 0,143
P7*= 0,143
P8*= 0,179
4).Найдем высоты столбцов гистограммы
h1= 0,043
h2= 0,03
h3= 0,012
h4= 0,037
h5= 0,061
h6= 0,049
h7= 0,049
h8= 0,061
5). H0 : имеющаяся выборка соответствует закону распределения R[a; b].
4. 1). Находим
a= -21,99
b= 1,416
2). Найдем вероятности попадания СВ в интервалы
P(XЄ?1)= P(XЄ?2)= ...= P(XЄ?k)= 0,125
P(XЄ?0)= (X Є (-?; -21,99))= 0
P(XЄ?k+1)= (X Є (1,416; +?))= 0
3). Статистика критерия Пирсона
gn=(n?(Pm- Pm*)2/ Pm) + n(P0 + Pk+1)
g56= 7,143
5. Принятие решения
??2(r) квантиль распределение хи-квадрат уровня ? с числом степеней свободы r.
r = k+ n1 n2 1
k количество интервалов
n1 число дополнительных интервалов
n2 число неизвестных параметров закона распределения, для которых были сделаны оценки
r = 5
?0,952(5)= 11,07 (по таблице)
Доверительная область [0; 11,07]
7,143 Є [0; 11,07] гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,95
?0,92(5)= 9,24 (по таблице)
Доверительная область [0; 9,24]
7,143 Є [0; 9,24] гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,9
6. Найдем интервал, в который СВ X попадает с вероятностью 0,99
P(?1? X ? ?2)= 0,99
?1 и ?2 Є [-21,99; 1,416]
(?1- (-21,99))/(1,416-(-21,99)) (?2- (-21,99))/(1,416-(-21,99))=0,99
?1- ?2=23,172
если ?1= -21,99, тогда ?2= 1,182
СВ Х попадает в [-21,99; 1,182] с вероятностью 0,99
Список использованной литературы
- Конспект лекций по курсу ТВиМС
- Теория вероятностей и математическая статистика. А.И. Кибзун и др. М. Физматлит 2005