Коэффициент детерминации. Значимость уравнения регрессии
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра экономико-математических методов и моделей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Эконометрика
Вариант № 3
Исполнитель: Глушакова Т.И.
Специальность: Финансы и кредит
Курс: 3
Группа: 6
№ зачетной книжки: 07ффд41853
Руководитель: Денисов В.П.
г. Омск 2009г.
Задачи
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
- уравнение линейной регрессии, где - параметры уравнения.
, где , - средние значения признаков.
, где n число наблюдений.
Представим вычисления в таблице 1:
Таблица 1. Промежуточные расчеты.
txiyiyi * xixi*xi1386926221444228521456784327461242729437632331136954673335821166274812967297416727471681839622418152192847131678410446729481936средн. знач.35,559,42108,71260,252173413093n101,31912,573
Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид:
Коэффициент регрессии равен 1,319>0, значит связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая, увеличение объема капиталовложений на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,319 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
Вычислим прогнозное значение Y по формуле:
Остатки вычисляются по формуле:
.
Представим промежуточные вычисления в таблице 2.
Таблица 2. Вычисление остатков.
6962,6956,30539,753035249,5052,4956,2250254648,186-2,1864,7785966361,3761,6242,6373767373,247-0,2470,0610094848,186-0,1860,0345966766,6520,3480,1211046264,014-2,0144,0561964749,505-2,5056,2750256770,609-3,60913,02488
Дисперсия остатков вычисляется по формуле:
.
Построим график остатков с помощью MS Excel.
Рис. 1. График остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:
.
Данные для расчета возьмем из таблицы 2.
dw = 0,803
Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ и для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.
Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.
- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.
- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.
Вычисления представим в таблицах 3 и 4.
Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.
txiyiyi * xixi*xi12746124272947-11227481296729471132847131678449,5-2,56,2542852145678449,52,56,25средн. знач.27,548,251326,875756,255310,003026,00n42,5- 20,514,5
Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.
txiyiyi * xixi*xi137632331136963,789-0,7890,623238692622144464,5824,41819,519339622418152165,375-3,37511,391441672747168166,9610,0390,002544672948193669,340-2,3405,476646733358211670,9262,0744,301средн. знач.40,83366,8332729,0281667,3611642410067n60,79334,44841,310
= =2,849
где - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии, - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.
Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы и ( - число наблюдений в первой группе, m число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).
, , m=1.
Если > , то имеет место гетероскедастичность.
= 5,41
< ,
значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .
Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:
,
,
,
=35,5
Промежуточные расчеты представим в таблице:
Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия
xi386,252856,252772,25372,2546110,252772,254130,253912,252856,254472,25
=490,50
для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8
Так как и можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Из расчетов нам известно, что
; .
Рассчитаем :
Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.
699,692,1652-7,454,7646-13,4179,56633,612,967313,6184,9648-11,4129,96677,657,76622,66,7647-12,4153,76677,657,76
=930,4
=0,917.
Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.
Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:
Ур