Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

°, что , и .

Так как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию , то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где - такая максимальная в подгруппа, что и . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа абелева, то - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть - -максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда и . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что является максимальной подгруппой группы . Покажем, что - максимальная подгруппы группы и - максимальная подгруппа группы . Так как , то - собственная подгруппа группы . Предположим, что в существует подгруппа такая, что . Тогда из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно, - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что и - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент такой, что . Следовательно,

 

 

и поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия , получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где и . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы такая, что . Так как , то - неединичная подгруппа. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа -перестановочна с , и поэтому для некоторого мы имеем - подгруппа группы . Поскольку , то - нормальная подгруппа в группе . Так как , то - нормальная подгруппа в группе . Получили противоречие с тем, что - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

Если все максимальные подгруппы группы имеют простые порядки, то сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе все -максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа либо нильпотентна, либо , где - подгруппа простого порядка и - циклическая -подгруппа, которая не является нормальной в подгруппой ( - различные простые числа). Предположим, что не является нильпотентной группой. Тогда . Поскольку , то - максимальная подгруппа группы и поэтому . Так как группа порядка разрешима, то группа разрешима. Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому главные факторы группы имеют простые порядки. Следовательно, - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе каждая максимальная подгруппа , индекс которой является степенью числа , нормальна в , то - -нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы факторгруппа -нильпотентна.

Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что явяется степенью числа . Тогда - максимальная в подгруппа и является степенью числа . По условию, нормальна в , и поэтому нормальна в . Так как , то - -нильпотентная группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и - -подгруппа.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что - -подгруппа. Тогда для некоторой -холловой подруппы группы . Поскольку ввиду (1), нормальна в , то - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно, - элементарная абелева -подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку абелева, то и поэтому . Это влечет . Следовательно, для некоторого . Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка.

(1) - непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы , разрешима и поэтому - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .

Предположим, что все -максимальные подгруппы группы единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы либо нильпотентна (порядка или ), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы , мы получаем, что разрешима. Это противоречие показывает, что в группе существует неединичная