Інтегральні перетворення Лапласа

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Вступ

 

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

 

1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.

 

Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t0 задовольняє оцінці:

 

(1.1)

 

то можна розглянути інтеграл

 

(1.2)

 

Дійсно справджується оцінка

 

(1.3)

 

При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що . Функція є аналітичною функцією комплексної змінної в півплощині . Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:

 

(1.4)

Як і при виведенні (1.3), знаходимо

 

(1.5)

 

Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна існує при , і формула (1.4) справедлива при .

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції і позначається -. В цьому випадку функція називається оригіналом, а функція зображенням.

Перетворення Лапласа можна звязати з перетворенням Фурє. Дійсно з (1.2) маємо:

 

 

Де (Перетворення Фурє із знаком -)

 

2. Властивості перетворення Лапласа L

 

Лінійність.

 

 

Доведення:

В силу властивостей інтеграла:

 

Диференціювання зображення

 

 

Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільного m властивість доводиться аналогічно.

Перетворення Лапласа похідних.

 

 

Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо

 

 

При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки:

 

 

При и . Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.

 

Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.

 

 

Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.

 

 

Доведення. Позначимо

 

 

Очевидно, що g[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо

 

 

При цьому ми врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)

 

 

при , , .

 

 

при , , .

Звідси знаходимо

 

 

Перетворення Лапласа дробу f[t]/t.

 

 

Доведення. Позначив Ф[p]=[f[t]\t][p] . Знайдемо

 

 

Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=?

 

 

Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[?]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.

 

 

Доведення. Позначимо

 

 

Очевидно, що при t>?

 

 

При довільному ?>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.

 

 

Звідси при

 

 

Таким чином, при Rep>a

 

 

Тут ми скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок інтегрування.

 

3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

 

1. f[t]=e. Rep>Re?, ?

2. f[t]=Sin[?t], ?R

 

За формулами Ейлера маємо

 

Sin[?t]=

 

Тому за допомогою 1 маємо:

3. f[t]=cos[?t], ? L[cos[?t]][p]=

 

Доведення аналогічне.

 

4. f[t]=Sh[?t], ?R

За означенням гіперболічних функцій Sh[?t]= /2

 

5.

 

Доведення аналогічне.

 

6.

 

За властивістю 2.2 маємо:

 

 

Зокрема

 

7.

 

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

 

 

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.

 

(3.1)

(3.2)

 

4. Обернене перетворення Лапласа

 

Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

 

(4.1)

 

Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,?) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фурє функції g[t] обернення перетворення Фурє.

 

 

Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ¦

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивост