Інтегральні перетворення Лапласа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
і вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].
Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:
- При будь-якому
існує інтеграл:
- Для
- дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)
, при
Тоді, - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()
Доведення
Розглянемо прямокутний контур (мал..4.1)
За теоремою Коши інтеграл Г[?1, ?2, р] по контуру J1[?1, ?2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[?1, ?2, р] при р>?. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р>?, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору .
Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка
Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по збігається.
Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру в півплощині , що складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :
В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R>?. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при
¦
При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як
при R>?
Лема Жордана. Нехай t>0 і - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам:
функція неперервна при , ,
Тоді при R>?
Доведення
Зробимо заміну змінної інтегрування
z=R.
Тоді справедлива оцінка інтеграла
Як відомо, при . Продовжимо оцінку інтеграла
При R>?. Лему доведено¦
Задача Знайти перетворення Лапласа функції
(5.1)
Введена гамма-функція
Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо
Нехай далі і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t додатне число.
Далі маємо:
(5.2)
де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:
Оцінимо інтеграл по дузі і кола радіуса R
при R>?.
Перейдемо до границі при R>?, >0 в рівності (5.3), отримуємо
Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).
5. Приклади розвязання базових задач
Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:
1. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).
2.Для усіх відємних t
3. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі і , що для усіх t
Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.
Розвязання
Дійсно, функція f(t)локально інтегрована
існує для будь-яких скінчених і . Умова 2 виконана в силу завдання функції.
І врешті решт, для будь-яких дійсних
,
Тобто в якості М в умові 3 можна вибрати довільне число >1
Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції
Розвязання
Для функції маємо . Тому зображення буде в усякому разі визначене і аналітичне на півплощині . Маємо:
Тобто, . Ця функція аналітична при , і крім того вона аналітична всюди, за виключенням точки . Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність при , але не стверджує, що якщо , тоді функція буде всюди аналітична.
Задача3. Знайти зображення функції
Розвязання
Маємо . За теоремою про інтегрування оригінала
Задача4.
Розвязання
Знаходимо оригінал для функції
Для знаходження оригіналу для функції скористаємось, наприклад. Теоремою про диференціювання зображення.
Отже,
Тобто,
Висновок
Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розвязанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розвязання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовільнє алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може бути легко знайдено.
Список літератури