Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
янные и в этих неравенствах нам заданы. Сопоставляя это неравенство с условием (2.12), мы получим, что минимальное значение достигается при условии , откуда получаем, что оптимальное значение параметра и минимальное значение .
Частным случаем приведенного рассмотрения является явный метод простой итерации, для которого справедливы все полученные выше результаты.
3. Метод Гаусса-Зейделя
Рассмотрим еще один итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса-Зейделя заключается в последовательном выражении неизвестных. Этот метод является одним из самых распространенных и наиболее легко программируемых.
Пусть задана СЛАУ
(3.1)
Предположим, что диагональные элементы не нулевые (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные из каждого уравнения:
(3.2)
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: , подставляя эти приближения в первое уравнение системы (3.2) , получим новое (первое) приближение для . Используя это значение и нулевые приближения для других неизвестных получим новое приближение для и т.д. до .
На этом заканчивается первая итерация решения системы. Используя теперь полученные приближения таким же образом проводи вторую итерацию.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения неизвестных не станут отличаться от предыдущих приближений на .
Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов (преобладание диагональных коэффициентов):
При этом хотя бы для одного уравнения это неравенство должно выполняться строго. Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но не являются необходимыми, т.е. для некоторых систем метод сходится и при нарушении условий.
Графически метод Зейделя можно представить следующим образом:
Рис. 2. Схема выполнения метода Гаусса-Зейделя
4. Применение итерационных методов
Покажем применение итерационных методов на конкретном примере. Для этого, решим систему уравнений вида
(1.1)
Возьмем для удобства матрицу двухдиагональной, и размерностью , и произвольный вектор , т.е. матрицы вида
, (4.1)
Так как можно доказать, что все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы:
(4.2)
То для решения системы (1.1) с заданными коэффициентами (4.1) можно применить как итерационный метод Якоби, так и метод Гаусса-Зейделя.
Точным решением системы является вектор .
После применения итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя были получены следующие результаты:
Метод решения (погрешность) (стацион. параметр)Полученное решениеВремя решенияЯкоби0.000001116 мс.Якоби0.00000109 мс.Зейделя0.000001109 мс.Зейделя0.00000105 мс.
Табл. 1. Полученные результаты
Из таблицы видно, что при одинаковой требуемой погрешности используя разные итерационные методы были получены различные результаты.
Легко заметить, что при произвольном выборе стационарного параметра метод Зейделя значительно превосходит метод Якоби по скорости. И, хотя разница во времени относительно небольшая, следует учесть сравнительно небольшую размерность системы уравнений. Естественно, при увеличении размерности скорость сходимости методов неоднократно возрастет.
Так же следует отметить сильное различие в скорости сходимости при произвольном стационарном параметре и при специальном (оптимизированным) выборе .
Из полученных результатов можно сделать вывод, что для решения систем линейных уравнений, для которых выполняется условие (4.1) наиболее оптимальным (по скорости сходимости) является метод Гаусса-Зейделя с оптимизированным набором параметров. Но для достаточно небольших систем линейных уравнений может использоваться метод Якоби с оптимизированным набором параметров.
Таким образом, можно сделать вывод, что итерационные методы хорошо подходят для уточнения решения, полученного с помощью любого точного (прямого) метода. Итерационные методы могут применяться и для систем, но только для удовлетворяющих некоторым условиям (как условие (4.1) метода Якоби).
Оптимальным же является комплексное применение методов решения СЛАУ, т.е. получение приближенного решения с помощью прямого метода и последующего уточнения решения с помощью итерационных методов.
Список использованной литературы
- Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304с.
- Бояршинов М.Г. Численные методы. часть1: Учебное пособие для студентов направления Прикладная математика и информатика. Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 1998. 176с.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для Вузов. 5-3 изд. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 320с.
- Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. М.:Наука. Гл.ред физ.-мат. Лит-ры, 1989. 432с.