Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Содержание
Введение
. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда
.1 Задание
.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда
.3 Доверительный интервал выживаемости
. Программа-функция
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Целью данной работы является создание программы-функции на MATLAB для исследования точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда. Данный метод - непараметрический. Он является полезным не только как гибкий альтернативный метод по отношению к параметрическим, но и при применении графических методов проверки согласия для сложных моделей. Термин таблица времени жизни (наработок) часто используется для непараметрического оценивания функции надежности по цензурированным данным.
1. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда
.1 Задание
Исходные данные.
Параметр экспоненциального распределения , n - объём независимой случайной выборки длительностей, имеющих экспоненциальное распределение, m - число цензурированных данных.
Задание.
Описать теоретические основы построения непараметрической оценки функции дожития (оценка Каплана-Мейера) и вычисления 95% доверительного интервала с использованием формулы Гринвуда.
Написать требуемую программу-функцию на MATLAB, предусмотрев ввод параметров , n и m через формальные параметры функции, генерирование независимой случайной выборки объёма n длительностей, имеющих экспоненциальное распределение с параметром , независимое цензурирование (случайное удаление из выборки m элементов), построение и вывод на экран точной функции дожития и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.
Провести вычисления для значений параметров
Вариант1230.10.10.10.010.010.010.50.50.5n105015010501501050150m051505150515
1.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда
Этот метод был придуман статистиками Е.Л. Капланом и П. Мейером. Метод используется для вычисления различных величин, связанных с временем наблюдения за пациентом. Примеры таких величин:
вероятность выздоровления в течении одного года при применении лекарственного препарата
шанс возникновения рецидива после операции в течении трёх лет после операции
кумулятивная вероятность выживания в течение пяти лет среди пациентов с раком простаты при ампутации органа
Поясним преимущества использования метода Каплана - Мейера.
Значение величин при обычном анализе (не использующем метод Каплана-Мейера) рассчитываются на основе разбиения рассматриваемого временного интервала на промежутки.
Например, если мы исследуем вероятность смерти пациента в течение 5 лет, то временной интервал может быть разделён как на 5 частей (менее 1 года, 1-2 года, 2-3 года, 3-4 года, 4-5 лет), так и на 10 (по полгода каждый), или на другое количество интервалов. Результаты же при разных разбиениях получатся разные.
.">Процедура Каплана-Мейера или процедура выживания (англ. Kaplan-Meier estimator) оценивает функцию выживаемости .
График оценки функции выживаемости представляет из себя убывающую ступенчатую линию, приближающую реальные значения функции выживаемости для этой задачи. Значения функции выживаемости между точками наблюдений считаются константными.
Важным преимуществом процедуры Каплана-Мейера, является то, что этот метод справляется с цензурированными данными, т.е. учитывается, что пациенты могут выбывать в ходе эксперимента.
Примеры:
Пример 1(медицина)
Пациенты принимают некое лекарство. Нужно оценить долю пациентов, проживших после этого какой-то период времени.
Пример 2(экономика)
Оценить время, сколько человек будет безработным, после ухода с прежнего места работы.
Пример 3(машиностроение)
Оценить время, пока какая-то часть автомобиля откажет.
Описание.
Оценка Каплана-Мейера
Для цензурированных, но не группированных наблюдений времен жизни, функцию дожития можно оценить непосредственно.
Цензурирование выборки - случайное удаление элементов из выборки.
Пусть выбраны - моменты времени.
Экспоненциальный закон:
- оценка функции надежности.
где - число объектов, наблюдаемых в момент ,
- число объектов, отказавших в момент .
В входят все объекты, цензурированные в момент . Тогда формула для логарифма правдоподобия следующая:
Из этой формулы следует вывести формулу для .
А для вероятности неудачного исхода:
Оценка максимального правдоподобия:
Оценка формально не зависит от выборки точек (если при этом сохраняется их порядок и значения не превышают t), в которых наблюдаемое число отказов равно нулю. Обычно называют множительной оценкой Каплана-Мейера.
Для каждого момента времени оценим вероятность пережить этот момент. Такой оценкой будет отношение числа переживших этот момент к числу наблюдавшихся к этому моменту. Тогда, согласно правилу умножения вероятностей, перемножая вероятности выживания в ка