Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
ждом интервале, в результате преобразований:
Следовательно, оценка функции дожития вычисляется по формуле:
Где - число объектов, доживающих до момента времени , исключая выбывших,
- число объектов, для которых произошёл исход в момент времени ,
- вероятность исхода.
Заметим, что можно перемножать значения только для тех моментов времени, когда произошёл хотя бы один исход, потому что, если =0, то = 1, а умножение на единицу никак результат не меняет.
Данная оценка функции дожия, называемая множительной оценкой, впервые была предложена Капланом и Мейером (1958).
1.3 Доверительный интервал выживаемости
дожитие каплан доверительный интервал
Оценку точности приближения кривой выживаемости дает стандартная ошибка выживаемости, ее можно рассчитать по формуле Гринвуда.
Формула Гринвуда:
Симметричный доверительный интервал:
выживаемости в момент времени ">Доверительный интервал выживаемости в момент времени с доверительной вероятностью определяется так:
,
где , т.е.">= 1.96 - квантиль нормального распределения. Обычно берётся 95% доверительный интервал , т.е.
Преимущество метода Каплана-Мейера (по сравнению с методом таблиц жизни) состоит в том, что оценки не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, т.е. от группировки. Метод множительных оценок и метод таблиц времен жизни приводят, по существу, к одинаковым результатам, если временные интервалы содержат, максимум, по одному наблюдению.
Выбор наиболее подходящего разбиения - непростая задача. Оценки значений величин, полученных по методу Каплана- Мейера не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, а зависят только от времени жизни каждого отдельного пациента. Поэтому исследователю проще проводить анализ, да и результаты нередко оказываются качественней результатов обычного анализа.
2. Программа-функция
k2(lambda,n,m)%входные параметры
a=exprnd((1/lambda),1,n);%выборка= sort(a);
a1=a;=randperm(n);%временная переменная для цензурированияm>0(t(1:m))=[];%цензурирование
end
for j=1:(n-m)
r(j)=sum(a>=a1(j));%число отработавших элементов
end(1)=1;(1)=1;j=1:(n-m)
s(j+1)=(s(j))*(1-(1/r(j)));%ф-ия дожития Каплана-Мейера
t1(j)=1/(r(j)*(r(j)-1));t1(j)==Inf(j)=t1(j-1);=[0,a1];=0:0.1:10;=0.5;=exp(-lambda*t2);(t2,s1,m);%изображение графика функции дожития
sigma=s*sqrt(sum(t1));%оценка точности по ф-ле Гринвуда
hold on(a2,sigma)(1)=[];=(t1)./(log(s).^2);=log(-log(s))-1.96.*sqrt(v);=log(-log(s))+1.96.*sqrt(v);
c1=exp(-exp(b2));%нижний предел доверительного интервала=exp(-exp(b1));%верхний предел доверительного интервала
stairs(a1,c1,r-)%изображение нижнего предела доверительного интервала
stairs(a1,c2,g-)%изображение верхнего предела доверительного интервала
xlabel(t)%подпись оси x
ylabel(S(t))%подпись оси y
Вычисления для значений параметров
?0.50.50.5n1050150m0515
Графики точной функции дожития для значений параметров ?, n, m и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.
. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях ?=0.5, n=10, m=0 (рис. 1).
Рис. 1
. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях ?=0.5, n=50, m=5 (рис. 2).
Рис. 2
. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях ?=0.5, n=150, m=15 (рис. 3)
Рис. 3
Заключение
В данной курсовой работе были подробно изложены метод Каплана-Мейера и использование формулы Гринвуда. Также было выполнено задание построение графиков с помощью программы Matlab.
Список используемой литературы
1. Д.Р. Кокс, Д. Оукс. Анализ типа времени жизни - Москва Финансы и статистика, 1988. - 191 стр.
. Анохин Л.В. Медицинская статистика / Л.В. Анохин, Г.А. Пономарева, О.Е. Коновалов, С.Н. Рубцов, О.В. Медведева. - Рязань, 2002.
.
. Михальский А.И. Лекции по компьютерным технологиям в медико-биологических системах. - Москва, 2012.