Исследование линейной разветвленной электрической цепи различными методами

Дипломная работа - Физика

Другие дипломы по предмету Физика

?олюсы функции передачи могут быть найдены из условия равенства нулю знаменателя отношения Iн(p)/J(p), что позволяет получить следующие значения:

 

p =

Нули функции передачи могут быть найдены из условия равенства нулю числителя отношения Iн(p)/J(p), что позволяет получить следующие значения:

 

n =

 

Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p1,2,3 совпадают с собственными значениями ??,2,3??матрицы A. Таким образом, полюсы являются частотами собственных колебаний цепи. Это является следствием того, что функция цепи фактически представляет символическую запись дифференциального уравнения цепи относительно переменной - реакции цепи. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи.

Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости, в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутствии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знаменателя) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми. В устойчивой цепи свободные колебания, определяемые частотами собственных колебаний, при t: затухают.

В данном случае, из трёх полюсов два являются комплексно-сопряжёнными, а один - вещественным. Это означает, что свободная составляющая тока будет состоять из затухающих синусоидальной составляющей и экспоненты.

 

о - нули функции передачи

- полюсы функции передачи

Рис. 6. Диаграмма полюсов-нулей

 

Знание передаточной функции цепи HI (p) позволяет определить переходную h1(t) и импульсную h?(t)?характеристики цепи. Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда Ф(t), функции включения) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от HI (p)/p:

h1(t) = L-1(HI (p)/p)

 

Символ L-1 обозначает: обратное преобразование Лапласа. Использование теоремы вычетов или теоремы разложения позволяет осуществить обратное преобразование Лапласа и получить следующее выражение для переходной характеристики цепи:

 

(10)

 

Данное выражение легко может быть проверено на крайних точках временного интервала (при и ). Например, установившееся значение тока в нагрузке (из (10)) равно 0.13636 А, и оно же может быть получено из расчета схемы, заменяя индуктивность закороченным участком цепи, а емкость - разрывом (по постоянному току). Переходная характеристика цепи представлена на рис. 7. Значения переходной характеристики в этих же точках могут быть определены на основании предельных соотношений операционного исчисления. В соответствии с этим, значение функции, например, в начальный момент времени (+) может быть определено как предел произведения операторного изображения функции на операторную переменную при стремлении последней к бесконечности. Для переходной характеристики будем иметь:

 

 

Импульсная характеристика цепи h?(t)?представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции d(t) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

h?(t)? = L-1(HI (p)).

 

(11)

 

 

Первое слагаемое в (11) определяется действием на входе цепи ????импульса тока и существует только для t=0. В дальнейшем переходной процесс протекает за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле индуктивности в результате действия ????импульса тока. Подобного вида решения (с ? -функцией - Dirac(t)) возникают всякий раз, когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции оказываются равными. Коэффициент при ??t) соответствует части входного импульса поступающей в нагрузку.

Входной импульс в данной работе представляет собой первую половину периода косинусоиды. Для нахождения ее изображения можно воспользоваться как непосредственно прямым преобразованием Лапласа, так и таблицами изображений и оригиналов. Воспользуемся вторым вариантом. Для этого исходный сигнал можно представить в виде суммы двух косинусоид, причем вторая задержана относительно первой на полпериода T/2=tи:

 

J(t) = Imcos(w0t)