Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Реферат - Математика и статистика
Другие рефераты по предмету Математика и статистика
ем скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:
(11)
Выберем угол такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении YZ равен нулю:
.
Получим, что , . Чтобы выбрать нужный , решим характеристическое уравнение для эллипса :
Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k:
Следовательно, cos = sin = .
Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:
,
т. е. уравнение
(12)
это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и . Т. к. a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.
2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:
Решая эту систему, получаем:
(13)
где h любое вещественное число. Уравнения (13) это уравнения окружностей с радиусом , уменьшающимся с увеличением h, с центрами на оси OZ в точках C(0, 0, h). Плоскость XOY (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:
Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение:
,
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XOY не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность:
Изобразим полученные сечен
ия:
Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:
Решая эту систему, получаем:
(14)
где h любое вещественное число. Уравнения (14) это уравнения эллипсов с полуосями:
уменьшающимися с увеличением h, с центрами на оси OX в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YOZ.
Плоскость YOZ (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу
Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При получаем уравнение
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем
т. е. при таких значениях h плоскость YOZ не пересекает данный эллипсоид. При получаем эллипс:
Изобразим полученные сечения:
Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.
Аналогичная картина получаются при сечении эллипсоида плоскостью XOZ.
2. Построение поверхности в канонической системе координат
Проанализировав каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом сечений плоскостями, построим эллипсоид:
Рис. 5. Эллипсоид.
Вывод
Мы научились приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.
Список использованной литературы
- Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1974
- Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). М.: Наука, 1993.
Преподаватель.
Оценка.Подпись.Дата.