Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы
Введение
Для решения многих нелинейных уравнений чаще всего используют Методы: простой итерации, половинного деления, Ньютона. Нелинейные решения нужны современному инженеру, ученому, экономисту в его профессиональной деятельности. Например, экономист с помощью таких уравнений может находить прибыль предприятия и просчитывать его на К лет.
Таким образом, развитие этих методов получает широкое развитие в мире.
Теоретические сведения
Методы решения
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры нам известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако встречающиеся на практике уравнения не удаётся решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближённого значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближённого значения до некоторой заданной степени точности.
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения Хо. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближённых значений корня Х1, Х2,…, Xn - Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
А теперь рассмотрим 3 итерационных метода решения трансцендентных, алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам, Ньютона, простой итерации.
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии)
Пусть действительный корень уравнения отделен и функция непрерывна на интервале отделения корня. Построим процесс сужения интервала так, чтобы искомый корень всегда находился внутри суженного интервала. Очевидно, что в этом случае погрешность приближённого значения корня не превышает , где , ? граничные точки интервала на -ой итерации. Найдём середину отрезка и вычислим . Составим произведения и . Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение является отрицательной величиной, и обозначим новые границы отрезка через , . Затем новый отрезок разделим пополам, вновь составим аналогичные произведения и выберем тот из отрезков, в котором произведение ? величина отрицательная.
Погрешность метода половинного деления, который также называется методом дихотомии, определяется достаточно очевидным соотношением (которое, впрочем, может быть строго доказано) , которое указывает на скорость сходимости метода: с увеличением погрешность стремиться к нулю не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем . Метод дихотомии прост и надёжен, всегда сходиться, хотя и медленно, устойчив к ошибкам округления.
Метод простой итерации
С начало приводим нелинейное уравнение к виду, удобному для итерации . Для этого умножим исходное уравнение на и прибавим к обеим частям уравнения :
.(1)
В качестве начального приближения можно выбрать любое . Итерационный процесс
заканчивается при выполнении условия
Для сходимости метода достаточно, чтобы для всех или (что то же самое) . Из условия сходимости можно оценить коэффициент входящий в (1):
.
Недостатком метода является малая скорость сходимости приближённого решения к точному. К достоинствам метода относятся более широкая область сходимости и простота по сравнению с методами Ньютона, хорд и секущих. На рис. 1 приводиться блок-схема алгоритма метода. Она проста, алгоритм полностью совпадает с приведённым выше в тексте. Обозначения переменных ясных из текста.
Найти корни уравнения методом простой итерации можно с помощью электронных таблиц. В столбце вычисляются последовательные приближения к корню.
Метод простой итерацииначальное приближениекопировать до -й строкис увеличением , растёт точность корня…………………….приближённое значение корня
Метод Ньютона
Рассмотрим в точке касательную к кривой , задаваемую уравнением
.
Положив , находим точку пересечения касательной с осью абсцисс:
.
Функция на отрезке (рис. 2) заменяется прямой и является приближённым значением корня . Построив касательную в точке получим точку пересечения этой касательной с осью , таким же способом получаем любую точку :
.
Последовательность значений сходиться к точному решению (корню) значительно быстрее, чем в методе половинного деления. Итерации можно прекратить, если .
При каких условиях последовательность сходиться к точному решению уравнения ? Существует
Теорема. Если , причём и отличны от нуля и сохраняют определённые знаки на , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству: , можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой точностью.
Существование решения следует из непрерывности на и условия . Единственность решения следует из монотонности на (так ка