Изучение темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ся замкнутой. Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной его частью плоскости, называется многоугольником.
После чего рассматривается определение правильного многоугольника: Многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Рассмотрим методику изучения темы Правильные многоугольники на примере учебника геометрии А.В.Погорелова.
В начале пункта вводится определение правильного многоугольника: Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, затем вводятся определения вписанного и описанного многоугольников: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности; Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Перед изучением теоремы 13.3 с целью подготовки класса к доказательству можно задать учащимся вопросы на повторение:
- Какая прямая называется касательной к окружности?
- Каково может быть взаимное расположение прямой и окружности? В классе проводится беседа, которая состоит из двух частей: сначала
речь идет об окружности, описанной около многоугольника, а затем об окружности, вписанной в многоугольник.
Ответы учащихся сопровождаются последовательным показом серии рисунков.
Какой треугольник называется вписанным в окружность или какая окружность называется описанной около треугольника (рис.1)?
Рис. 1.
Можно ли около произвольного треугольника описать окружность?
Как найти центр окружности, описанной около треугольника? (Рис.2) Что является радиусом? (Рис.3)
Всегда ли можно описать окружность около многоугольника? (Нет. Пример: ромб, если он не квадрат. Рис.4)
Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? (Рис.5)
Рис. 2.
Рис. 3.
Формулируется первая часть теоремы 13.3. Делается предположение, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Стоит заметить, что этот факт будет доказан позднее.
Аналогичная работа проводится относительно возможности вписать окружность в многоугольник. Классу те же 5 вопросов относительно окружности, вписанной в многоугольник. При этом по аналогии с первой частью беседы используется серия рисунков, аналогичных предыдущим.
Учитель обращает внимание учащихся на возможность вписать окружность в правильный многоугольник. Формулируется и доказывается теорема 13.3: Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Доказательство теоремы ведется по учебнику. Полезно подчеркнуть, что центры вписанной и описанной окружностей в правильном многоугольнике совпадают и данная точка называется центром многоугольника.
После доказательства теоремы предлагаются задачи:
.Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
Дано: Окружность (0;R),
?АВС - правильный, вписанный,
АВ = a,
КМРЕ - вписанный квадрат.
Найти: KM.
Решение.
?АВС - правильный, вписанный: R = KMPE - вписанный квадрат в окружность (0;R).
Пусть х =КМ - сторона квадрата, тогда
R = .
Ответ: KM = .
2.В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Дано: окружность (0;R),
- R=4 дм,
- ?АВС - правильный, вписанный,
- Oкр.1 (O;R1),
- ABDE - вписанный квадрат в Oкр.1
- Найти: R1.
- Решение.
- 1.?АВС - правильный, вписанный:
, a=дм.
- ABDE - вписанный квадрат в Oкр.1 :
R=дм.
Ответ: дм.
3.Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности. Дано: Окр.(0;R),
A1A2...An - правильный, вписанный,
A1A2=а, радиус=R,
Окр.(0;г).
Найти: г.
Решение.
ОС - радиус вписанной окружности.
?ОСВ - прямоугольный (ZC = 90)
OB=R, СВ=.
ОС2 = ОВ2 - ВС2
ОС=.
Ответ: ОС=.
.Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности.
Дано: окружность(0;г),
A1A2...An - пpaвильный., описанный,
А1А2=а, радиус=г,
Окружность (0;R).
Найти: R.
Решение. OB - радиус описанной окружности.
?ОСВ - прямоугольный (ZC = 90)
ОС=г, СВ=
ОВ2=ОС2+СВ2
R2=.
Ответ: R = .
Затем учащимся можно предложить систему задач:
.В правильном шестиугольнике А1А2А3А4А5А6 сторона равна 8. Отрезок ВС соединяет середины сторон А3А4 и А5Аб. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны А1А2 с серединой отрезка ВС.
.Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если М, Р и К -середины сторон АВ, CD. EF соответственно.
- Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
- Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
- Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135;