Изучение критерия Колмогорова–Смирнова и сравнение его с другими критериями согласия
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Небходимо отметить, что и критерий и критерий Колмогорова-Смирнова подсчитывается по негруппированным выборкам (в отличие от критерия ) [3].
2.Проверка гипотез о виде распределения
Для проверки гипотезы о виде распределения смоделированы выборки из генеральных совокупностей, имеющих следующие законы распределения: экспоненциальное, степенное и распределение Парето.
2.1Экспоненциальное распределение
Случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром, если функция распределения имеет вид:
а плотность распределения:
Математическое ожидание равно .
Дисперсия случайной величины равна .
Плотность и функция показательного распределения случайной величины с параметром представлены на рисунках 2.1 и 2.2 [7].
Рисунок 2.1 - График плотности экспоненциального распределения с параметром
Рисунок 2.2 - График функции экспоненциального распределения с параметром
2.2Степенное распределение
Случайная величина имеет степенное распределение с параметром , если функция распределения имеет вид:
а плотность распределения[8]:
Область значения
Математическое ожидание равно
Дисперсия случайной величины равна [9].
Плотность и функция степенного распределения случайной величины с параметром представлены на рисунках 2.3 и 2.4.
Рисунок 2.3 - График плотности степенного распределения с параметром
Рисунок 2.4 - График функции степенного распределения с параметром
2.3Распределение Парето
Случайная величина имеет распределение Парето с параметром , если функция распределения имеет вид:
а плотность распределения [8]:
критерий согласие колмогоров смирнов
Область значения
Математическое ожидание равно
Дисперсия случайной величины равна
[10].
Плотность и функция степенного распределения случайной величины с параметром представлены на рисунках 2.5 и 2.6.
Рисунок 2.5 - График плотности распределения Парето с параметром
Рисунок 2.6 - График функции распределения Парето с параметром
2.4Результаты проверки гипотезы о виде распределения
Смоделировав выборки объемом из генеральных совокупностей, имеющих вышеуказанные законы распределения с известными параметрами, проведена проверка гипотезы о виде распределения методами типа Колмогорова-Смирнова и Пирсонанауровне значимости . Результаты проверки представлены в виде таблицы 2.1.
Таблица 2.1 - Результаты проверки гипотез о виде распределения двумя методами
Критерии согласиизаконы распределенияэкспоненциальное степенное Парето Колмогорова-СмирноваПирсона
Из полученной таблицы следует, что критерии согласия Колмогорова-Смирнова и Пирсона не противоречат друг другу.
Для сравнения критерий Колмогорова-Смирнова и на чувствительность к объему выборки и степени различия параметров распределения рассмотрена выборка, имеющая экспоненциальное распределение.Графики зависимости статистик критерий от объема выборки представлены на рисунках 2.7-2.8.Графики изменения статистик критерий при изменении параметра экспоненциального распределения представлены на рисунках 2.9-2.10.
Рисунок 2.7 - График изменения статистики при различных объемах выборки
Рисунок 2.8 - График изменения статистики при различных объемах выборки
По полученным графикам видно, что статистика критерия Колмогорова при увеличении объема выборки стремится к нулю, статистика критерию увеличивается с увеличением объема выборки.
Рисунок 2.9 - График изменения статистики при различных значениях параметра
Рисунок 2.10 - График изменения статистики при различных значениях параметра
Отсюда следует, что статистика критерия и статистика критерия Колмогорова-Смирнова не зависят от параметра распределения.
3.Асимптотические свойства критерия
Для проверки асимптотических свойств критерия типа Колмогорова-Смирнова проведенакратную проверку гипотезы о распределении, , при различных объемах выборки . Графики теоретической и эмпирической функций распределения Колмогорова представлены на рисунках 3.1-3.3.
По полученным графикам видно, что при увеличении объема выборки эмпирическая функция распределения Колмогорова стремиться к теоретической функции распределения.
Рисунок 3.1 - Графики теоретической и эмпирической функций распределения Колмогорова при
Рисунок 3.2 - Графики теоретической и эмпирической функций распределения Колмогорова при
Рисунок 3.3 - Графики теоретической и эмпирической функций распределения Колмогорова при
Заключение
В данной курсовой работе был изучен критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова. И также рассмотрены критерии согласия Пирсона и .
В ходе выполнения данной курсовой работы былисмоделированы выборки из генеральных совокупностей, имеющих различные законы распределения: экспоненциальное, Парето, степенное; и проверены гипотезы о виде распределения методами типа Колмогорова-Смирнова и Пирс?/p>