Измеримые множества

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

p> Теорема 3. Если j (х) есть движение, то либо

j (х) = х + d,

либо

j (х) = - х + d.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, j (0) = d. Тогда для всякого х будет | j (х) d | = | х | и, стало быть,

j ( х ) = (-1) s( х ) х + d [s(х) = 0, 1].

Функция s (х) определена для всякого х 0. Нашей задачей является установление того, что s (х) есть постоянная величина.

Пусть x и y две точки, причем x 0, y 0, x y. Тогда

j (x) - j (y) = (-1) s (x) x (-1) s (y) y,

или

j (x) - j (y) = (-1) s (x) [x (-1) r y],

где r = s (y) - s (x) имеет одно из трех значений r = 1, 0, -1.

Пользуясь определением движения, можно утверждать, что

| x (-1) r y| = | x - y|.

Отсюда, либо x (-1)r y = x y, либо же x (-1)r y = -x + y.

Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что

2x = y [1 + (-1) r ], откуда (при r = 1) x = 0, или (при r = 0) x = y, а это противоречит условию.

Значит, остается первый случай, который дает, что r = 0, т.е. s(x) = s(y).

Значит, для всех x 0 функция s (x) имеет одно и то же значение

s (x) = s (s = 0, 1), так что j (x) = (-1) s x + d.

Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для x = 0, теорема доказана.

Следствие. При движении каждая точка y Z служит образом некоторой точки x Z, т.е. j (Z) = Z.

Действительно, если j (x) = (-1) s x + d, то прообразом точки y служит точка x = (-1) s (y-d).

Если j (x) = (-1) s x + d есть некоторое движение, то движение

j-1 (x) = (-1) s (x d)

называется обратным движением. Эти два движения связаны соотношениями

j [j-1 (x)] = j-1[j (x)] = x.

Иначе говоря, если точка х в движении j имеет образом точку y, то в движении j-1 точка y имеет образом точку х. Весьма важным является то, что для всякого движения существует обратное ему движение.

Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит в интервал той же меры, причем концами интервала-образа служат образы концов интервала-прообраза;

b) образ ограниченного множества есть ограниченное же множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (a, b) есть некоторый интервал. Тогда при движении j (x) = x + d образом интервала D служит интервал (а+ d, b + d), а при движении j (x) = -x + d интервал (d b, d a). В обоих случаях mj (D) = b a = mD.

Чтобы доказать b), обозначим через Е какое-нибудь ограниченное множество. Если D есть интервал, содержащий множество Е, то

j (Е) j (D), так что j (Е) ограничено. Можно рассуждать и так: если для всех х из Е будет | х | < k, то для всех у из j(E) будет | у|<k+|d|.

Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество переходит в замкнутое множество;

b) открытое множество переходит в открытое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. a) пусть j (F) есть образ замкнутого множества F. Обозначим через у0 какую-либо предельную точку множества j (F) и найдем последовательность {уn}, для которой

lim уn = у0 , уn j(F).

Пусть х0=j-1(у0), хn= у 1(уn).

Тогда хnF. Но | хn х0 | = | уn у0 |, так что хn х0 и, в силу замкнутости F, х0 F, откуда у0 = j (х0) j (F).

Значит j(F) есть открытое множество.

b) Пусть G есть открытое множество. Положим F=CG. Тогда F есть замкнутое множество и G+F=Z, G F=0.

Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,

j (G) + j (F) = Z, j (G) j (F) = 0,

т.е. j (G) является дополнением замкнутого множества j (F) и, стало быть, открыто.

Теорема 6. Мера открытого ограниченного множества не меняется при движении.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открытое ограниченное множество. Тогда и j(G) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через dk(k = 1, 2, 3…) составляющие интервалы множества G. На основании теоремы 4, составляющими интервалами множества j(G) служат интервалы j(dk), причем легко проверить, что этими интервалами исчерпываются все составляющие интервалы множества j(G). Отсюда: mj(G)=j(dk)=dk = mG, что и требовалось доказать.

Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни внутренней меры ограниченного множества.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть E ограниченное множество. Взяв произвольное e>0, найдем такое открытое ограниченное множество G, чтобы было GE, mG < m* E + e.

В таком случае j(G) есть открытое ограниченное множество, содержащее множество j(E). Стало быть

m*j(E) mj(G)=mG < m*E+e.

В силу произвольности числа e, следует, что m*j(E) m* E, так что при движении внешняя мера ограниченного множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается, ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней меры.

Итак

m*j(E)=m*E.

b) Обозначим через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда j (D) есть интервал, содержащий множество j (Е). Положим, далее, А=СD E.

Соотношения Е+А=D, ЕА=0 дают, что

j (E)+j (А)= j ( D), j (Е) j (А)=0,

так что j (Е) есть дополнительные множества j (А) относительно интервала j (D).Отсюда, в силу теоремы 7,

m* j (А)+m * j (Е)=mj (D)

и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,

m* А+m* j (Е)=mD.

Значит m*j (Е)=mD-m* (CDЕ), и снова применяя теорему 7, мы находим, что

m*j (Е)=m* Е.

Следствие. При движении измеримое множество переходит в измеримое множество той же меры.

Определение 2. Множества А и В называются конгруэнтными, если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.

С помощью этого термина доказанные результаты можно высказать в такой форме.

Те