Измерение сверхмалых масс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
щая жёсткость системы.
Если F - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.
Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение - синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.
Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.
В настоящей работе исследуются собственные колебания микрокантилеверов, поэтому рассмотрим их подробнее.
Кантилевер представляет собой массивное прямоугольное основание, с выступающей из него балкой (собственно кантилевером) простой геометрической формы, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Геометрическая модель кантилевера
Вычислим резонансную частоту изотропного кантилевера массы в виде балки в форме параллелепипеда длиной , толщиной () и шириной (), на свободный конец которого действует сосредоточенная вертикальная сила (рисунок 1) [4].
Найдём кинетическую и потенциальную энергию кантилевера. Рассмотрим элемент балки длиной , находящийся на расстоянии от закреплённого конца. Кинетическая энергия такого элемента есть
((1)
где - отклонение точек осевой линии балки на расстоянии от закреплённого конца в момент времени . выражается через отклонение свободного конца балки следующим образом:
(2)
Тогда, подставляя значение в (1) и производя интегрирование по всей длине балки, получим:
((3)
Так как по условию только на свободный конец действует сосредоточенная сила F, то очевидно, что Enom равна работе, затраченной на перемещение конца балки на расстояние:
((4)
где - коэффициент нормальной жесткости.
Если считать, что колебания в системе происходят без диссипации полной энергии , то есть , тогда, дифференцируя полную энергию по времени, получим уравнение движения свободного конца кантилевера
((5)
Следовательно, эффективная масса кантилевера равна
(6)
Таким образом, вычислив и зная коэффициент жёсткости , получаем, что собственная частота колебаний кантилевера выражается через его параметры следующим образом
(7)
где - плотность кантилевера, - модуль Юнга. Как видно из (7), обратно пропорциональна квадрату длины балки.
В данной работе для исследования собственных колебаний микрообъектов использованы прямоугольные кантилеверы с зондом (иглой). Однако, собственная частота, вычисленная с помощью формулы (7), плохо согласуется с экспериментальными данными, так как масса зонда при расчете не учитывается.
Рисунок 2. Прямоугольный кантилевер с зондом.
Для определения частоты свободных колебаний необходимо знать толщину t, длину l, ширину w (рисунок 2). Рассмотрим следующее однородное незатухающие уравнение:
(9)
где E - модуль Юнга, I - момент инерции кантилевера, y - поперечное смещение, ? - плотность, A - площадь поперечного сечения. Данное уравнение можно свести к следующему:
(10)
Общее решение уравнения движения для кантилевера:
(12)
Наложим следующие граничные условия для определения коэффициентов. При x=0 прогиб и наклон кантилевера равны нулю:
(13)
Граничные условия при x=l требуют, чтобы момент M равнялся нулю, и динамический сдвиг V равнялся .
Чтобы иметь нетривиальное решение для коэффициентов, потребуем, чтобы
(18)
в то время, как моды колебаний имеют вид:
(18a)
(18б)
Рисунок 3. Зависимость ?l от безразмерного отношения масс y
Коэффициент C1 выбираем таким образом, чтобы ?(l)=1. При произвольных значениях отношения масс есть несколько собственных частот, при которых трансцендентное уравнение имеет решения. Уравнение (18) позволяет численно определить ?l для данного безразмерного отношения масс ?. Может быть получено приближенное решение из (10а) для частоты [6]:
,(19)
На рисунке 3 показана зависимость величины ?l от безразмерного отношения масс ?, определенная экспериментально [7]. Для определенных значений массы величина ?l была рассчитана с использованием уравнения (19). В приделе ? =0 величина ?l равна 1,875.
Выражение (19) позволяет рассчитать значение массы осциллятора по определенной экспериментально частоте собственных колебаний.
1.2 Расчет собственной частоты колебаний микрообъектов с прилепленной массой
Существует множество физико-математических моделей, позволяющих рассчитать частоту собственных (резонансных) колебаний микрообъектов. В данной работе исследуются колебания вытянутых прямоугольных пластин - кантилеверов, другие более сложные колебательные системы не исследовал?/p>