Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
у, получаем и дифференциальное уравнение системы, и выражения для определения реакций:
(3.11)
Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
2.1 Вычисление констант
.2 Вычисление значений функций в момент времени t
Для момента времени вычислим значения функций и
.3 Вычисление реакций связей
Такая механическая система неработоспособна, для её оптимизации необходимо изменить параметры, такие как масса, жесткость пружины и частота возмущающей силы.
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:
(3.1)
Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.
рис.4
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Идеальные связи не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.
Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
(3.2)
Вычислим последовательно элементарные работы активных сил:
Суммируя эти работы получаем:
(3.3)
С учетом кинематических соотношений (1.7) получим:
где ,
Окончательно получаем:
(3.4)
Аналогичное выражение для приведенной силы получено ранее [см.(1.23)].
Найдем возможную работу сил инерции:
(3.5)
Вычислим последовательно элементарные работы сил инерции:
, где (3.6)
Суммируя эти работы получаем:
(3.7)
где
Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать:
(3.8)
Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:
(3.9)
(3.10)
где (3.11)
Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [(1.10)]. Подставляя выражения (3.4) и (3.10) в общее уравнение динамики (3.1) получаем:
(3.12)
Поделив (3.12) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
(3.13)
где (3.14)
Дифференциальное уравнение (3.13) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).
.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода
Составим теперь уравнения Лагранжа второго рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
(3.15)
где Т - кинетическая энергия системы;
Q - обобщенная сила;
S - обобщенная координата;
- обобщенная скорость.
Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
где
Учитывая, что получаем:
(3.16)
Производные от кинетической энергии
(3.17)
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис.4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [cм. (3.4)]:
(3.18)
С другой стороны для системы с одной степенью свободы
(3.19)
Сравнивая формулы (3.18) и (3.19) получим:
(3.20)
Подставляя производные от кинетической энергии (3.17) и обобщенную силу (3.19) в уравнение Лагранжа, получаем:
(3.21)
Полученное уравнение (3.21) совпадает с уравнениями (1.25) и (3.13).