Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?стей всех внутренних сил будет равняться нулю:
. (1.13)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы:
.
Найдем мощности остальных внешних сил:
(1.14)
Тогда сумма мощностей внешних сил будет равна:
. (1.15)
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1.16)
или
, (1.17)
где
. (1.18)
Величину будем называть приведенной силой.
Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического и динамического удлинений:
,
причем из выражения (1.7) для следует, что .
Тогда упругая сила будет равна:
. (1.19)
Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для и запишем в виде:
,
раскрывая скобки получим:
, (1.20)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая (1.20) , и , получаем условие равновесия системы:
, (1.21)
Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины:
. (1.22)
Учитывая (1.22) и (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
. (1.23)
Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:
. (1.24)
Запишем последнее уравнение в виде:
, (1.25)
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
- циклическая частота свободных колебаний,
- показатель степени затухания колебаний.
Запишем начальные условия движения:
. (1.26)
Выражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.
.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
, (2.1)
где - амплитуда возмущающей силы,
p - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25) , имеет вид:
. (2.2)
Решение этого уравнения ищем в виде функции:
, (2.3)
где и - постоянные величины.
Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:
.
Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие:
. (2.4)
Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:
. (2.5)
В нашем случае - подкоренное выражение (2.5) отрицательно, следовательно корни комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (2.2) имеет вид:
, (2.6)
где - постоянные интегрирования,
. (2.7)
Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера
нетрудно представить в виде:
, (2.8)
где постоянные интегрирования.
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения
. (2.9)
Частное решение ищем в виде правой части
. (2.10)
Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:
Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:
(2.11)
Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9):
. (2.12)
Константы и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.12):
. (2.13)
Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант:
(при t=0).
Решая эту систему, получаем:
(2.14)
Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма:
(2.15)
.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).
рис.3
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения:
, (3.1)
и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс:
, (3.2)
В соответствии с расчетными схемами (рис.3) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат:
тело 1: (3.3)
тело 2:
на ось : , (3.4)
на ось : , (3.5)
(3.6)
тело 3:
на ось : , (3.7)
на ось : , (3.8)
(3.9)
С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) - (3.9) преобразуем к виду:
(3.10)
Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций:
Решая эту систем