Дослідження чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
Інститут АЕКСУ
Кафедра АІВТ
Дослідження чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь
Курсова робота
з дисципліни:
“Обчислювальні методи та застосування ЕОМ”
Виконав: ст. гр. 3АВ-06_________ Пересунько А.О.
Перевірив: професор, д.т.н. каф.АІВТ___Квєтний Р.Н.
2008
Анотація
В даній курсовій роботі розглянуто наближені методи розвязку нелінійних рівнянь для методів Ньютона та хорд, складено блок-схеми та написано програму, за допомогою якої розвязується задане рівняння. Проведено аналіз як самого рівняння і методів його розвязання, так і результатів обрахунку.
Зміст
Вступ
1.Короткі теоретичні відомості
2.Аналіз заданого рівняння
3.Алгоритми методів
3.1.Вибір інструментальних засобів
3.2.Вхідні та вихідні дані
3.3. Структура програми
3.4. Інструкція користувачеві
4. Аналіз результатів розрахунку
5. Висновки
Література
Додатки
Додаток А. Алгоритм методів
Додаток Б. Блок-схема програми
Додаток В. Лістінг програми
Вступ
В наш час, коли надзвичайно швидкими темпами розвивається наука і техніка, людина освоює все нові і нові галузі, все більше проникає як в надра землі так і за її межі, зявляється багато нових і досить складних задач, рішення яких потребує нових методів і нових підходів. Зокрема надзвичайно велика кількість задач електроніки, електротехніки, механіки, кібернетики та ряду інших галузей науки вимагають від вчених інженерів вирішення досить складних математичних задач які вимагають певного аналізу та нестандартного підходу до вирішення.
Зявляються задачі які не можна розвязати за допомогою класичної математики і отримати точний розвязок, і в загалі досить часто про отримання точного розвязку не доводиться говорити, оскільки отримати його при існуючих умовах просто неможливо. Тож ставляться задачі отримати приблизні розвязки, але якомога близькі до точних. Тому в таких задачах використовуються різні наближені методи рішення тієї чи іншої задачі.
Сучасний світ неможливо уявити без використання компютерних технологій. Зараз компютер використовується у багатьох сферах людського життя. Зараз обчислення залишаються одним із основних видів застосування ЕОМ. Хоча компютер дуже швидко виконує прості арифметичні дії, без спеціальних програм він не в змозі проводити складні обчислення. Тому постає задача алгоритмізувати поставлене завдання, тобто перевести його в зрозумілу для ЕОМ форму.
1.Короткі теоретичні відомості
Існує ряд методів для вирішення нелінійних рівнянь. Найбільшого поширення отримали метод половинного ділення, метод простої ітерації, метод хорд та метод Ньютона. Розглянемо суть цих методів.
Метод половинного ділення
В цьому методі спочатку обчислюється значення функції в точках що розташовані через рівні інтервали на осі х. Коли f(xn) i f(xn+1) мають протилежні знаки, знаходять , f(xcp). Якщо знак f(xcp) збігається зі знаком f(xn), то надалі замість хn використовується хср . Якщо ж f(xcp) має знак, протилежний f(xn), тобто збігається зі знаком f(xn+1), то на хср замінюється xn+1 . За умову припинення ітераційного процесу доцільно брати умову | xn+1 xn| < , де - задана похибка. Похибка розвязку ? через n ітерацій знаходиться в межах
?<. (1.1)
Метод має малу швидкість збіжності, оскільки інтервал, де знаходиться корінь, з кожним кроком зменшується не більше ніж в два рази.
Метод простої ітерації
Цей метод можна використовувати лише якщо доведена збіжність ітераційного алгоритму. В цьому методі процес розвязання потрібно починати з пошуку інтервалу збіжності. Умовою збіжності є те що максимальне значення І-ї похідної правої частини рівняння Х=g(x) (1) (до такого вигляду потрібно привести вихідне рівняння f(x)=0 ) повинна бути менша за 1. Якщо умова не виконується, то алгоритм не збіжний. Коли в інтервалі збіжності немає коренів, треба застосовувати інші методи або приходити до рівняння (1) через інші способи.
Похибка ж методу на n ій ітерації обчислюється так:
?< (1.2)
В даній курсовій роботі розглядаються два методи розвязку нелінійних рівнянь це метод Ньютона та метод хорд, тому розглянемо їх більш детально. Метод хибного положення (хорд)
Цей метод полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів xn+1 , хn не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці
. (1.3)
Після цього визначають f(xn+1) і порівнюють його з f(xn). Надалі користуються xn+1 замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо | xn+1 xn| < , то вся процедура повторюється спочатку.
Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається.
Похибка розвязку оцінюється за формулою:
, (1.4)
де М1, m1 відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.
Рис 1.1.Метод хорд
Метод Ньютона
Метод Ньютона полягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступне наближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ.В основі ць?/p>