Дослідження чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?го методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора:
(1.5)
Члени що містять h у другому і більших степенях відкидаються і в результаті отримується наближена формула для оцінки Хn+1:
хn+1 = хn , (1.6)
але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певну похибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступної умови: < ?, де дельта певна задана похибка. Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f(x)перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f (x) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.
Початкове наближення слід вибирати з умови:
(1.7)
Грубо оцінити похибку для методу можна так:
, (1.8)
де М2 найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі
[xn, xn+1].
Рис. 1.2. Метод Ньютона
2.Аналіз заданого рівняння
В даній курсовій роботі необхідно розвязати нелінійне рівняння 5-го порядку, яке відповідно матиме пять коренів. Для того, щоб розвязати це рівняння методами Ньютона та січних, необхідно визначити початкове приблизне наближення, це можна зробити за допомогою графіка цього рівняння (Рис. 2.1), побудувавши його за допомогою математичного пакета Mathcad 2001 Professional.
Рис. 2.1
Як видно із графіка дане рівняння має три дійсних корені, тому що графік функції перетинає осі координат у трьох точках.
Отже, потрібно брати такі приблизні значення початкових наближень: -1,8; 0,1; 1,8. Дійсно ці значення задовольняють необхідну умову . При значенні х0=0,1 (f (x0))2=99,9, a добуток f(x0)f(x0)=5*10-10 , що є меншим за значення першої похідної, піднесеної до квадрату. При значеннях х0= -1,8 ; х0=1,8 також виконуються дані співвідношення.
Для знаходження комплексних коренів нелінійного рівняння окрім звичайних методів, які аналогічні тим, що використовуються для знаходження дійсних коренів, існує низка спеціальних методів, що дозволяють оцінювати комплексні корені проводячи обчислення з дійсними числами. Більшість цих методів базується на перетворені початкового нелінійного рівняння до добутку квадратичних співмножників.
Щоб знайти комплексні корені нелінійного рівняння розкладемо задане рівняння на найпростіші множники. В результаті отримаємо такий многочлен:, де 1,75; 1,8; 0,1 дійсні корені рівняння. Прирівнявши перший множник до нуля , знайдемо приблизні значення комплексних коренів рівняння, яких має бути два:
; дискримінант D = 0.0025-12.61= -12.6<0
;
3. Алгоритм методів
На основі теоретичного матеріалу, розглянутого в попередньому розділі роботи, було розроблено алгоритми методів.
Алгоритм розвязку нелінійного рівняння методом Ньютона за допомогою ЕОМ є досить простим і полягає в тому, що спочатку задається дане вихідне рівняння, його похідна, а також допустима похибка. Потім використовуючи вищеописану ітераційну формулу знаходять ряд значень х:
хn+1= хn -,
де хn+1 значення х на наступній ітерації, а хn значення х на попередній ітерації. Ця операція повторюється до тих пір, поки не виконається умова < ?, тобто різниця значень наступної ітерації і попередньої менше за задану похибку.
Алгоритм розвязку цього ж рівняння за методом хорд полягає в тому, що визначаються значення функції до зміни знаку при переході від до поки кінці інтервалів xn+1 , хn не будуть мати різні знаки.
Після цього визначають f(x*) і порівнюють його з f(xn). Надалі користуються xn+1 замість того значення, з яким воно збіглося за знаком.
Знаходимо ряд значень х до тих пір, поки не виконається умова < ? де ? - задана допустима похибка.
Блок-схеми даних методів наведені в додатку А.
3.1 Вибір інструментальних засобів
Для вирішення цієї задачі було обрано середовище програмування С, так як воно має ряд вагомих переваг перед іншими середовищами і мовами програмування. Зокрема такими перевагами є те, що:
- не вимагає великих затрат як апаратної частини компютера так і програмної
- дозволяє досить просто реалізовувати поставлені задачі
- є дуже візуальним і наглядним що робить його зручним інструментом в користуванні
- ця мова є досить гнучка і дозволяє використовувати технології обєктно-орієнтованого програмування.
3.2 Вхідні та вихідні дані
Для даних методів розвязку нелінійного рівняння вхідними даними є початкове рівняння; похідна від нього; початкові наближення х0 (1,75; -1,8; 0,1) і допустима похибка ? , яка вводиться з клавіатури .
Вихідними даними є знайдені корені х, які задовольняють умову:
< ? та кількість кроків для отримання розвязку із заданою похибкою.
3.3 Структура програми
Програму можна умовно розділити на чотири такі частини:
1. блок опису вхідних та вихідних даних
2. введення початкових даних
3. процедури розвязку рівняння методом хорд та Ньютона
4. виведення результатів
Програма, написана для вирішення поставленої задачі, містить кілька підпрограм. Спочатку програма пропонує ввести похибку, після чого виконує розвязок рівняння заданими методами. Для розвязку рівняння методом хорд використовується функція chords, що приймає в якості параметрів верхній хв та нижній ха проміжки х та кількість ітерацій iter. . Для розвязку рівняння методом Ньютон?/p>