Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
етична частина
Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце крапок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду:
де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля.
Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.
Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхня S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів.
1) еліпсоїд,
2) мнимий еліпсоїд,
3) гіперболоїд,
4) гіперболоїд,
5) конус,
6) мнимий конус (крапка),
7) еліптичний параболоїд,
8) гіперболічний параболоїд,
9) еліптичний циліндр,
10) мнимий еліптичний циліндр,
11) дві мнимі пересічні площини (вісь O),
12) гіперболічний циліндр,
13) дві пересічні площини,
14) параболічний циліндр,
15) дві паралельні площини,
16) дві мнимі паралельні площини,
17) дві співпадаючі площини (площина XOZ).
У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p позитивні параметри. Систему координат називають канонічною.
Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами
Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то подання про поверхню можна одержати за формою ліній перетинання її площинами:
Z = h паралельними координатної площини XO,
X = h паралельними координатної площини YO,
Y = h паралельними координатної площини XO.
Практична частина
Дано
Це еліпсоїд у прямокутної декартової системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії.
- Розглянемо лінії
площинами =h (h=const):
(1)
Площина Z=h паралельна площини Oxy.
Рівняння проекцій на Oxy мають вигляд:
Якщо , те, і тоді поділимо обидві частини рівняння на , одержимо:
Це рівняння еліпсів з півосями
,
зі зменшенням , центр еліпса (0;0;h)
При різних h маємо:
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню(1) немає.
- Розглянемо
отримані в перетинах еліпсоїда площинами X=h:
(2)
Рівняння проекцій на YOZ.
Це рівняння еліпсів з півосями
,
Якщо , то a=3, b=2, і
Якщо , тоді ми одержуємо сімейство еліпсів:
, ;
, ;
Якщо , тоді це рівняння крапки з координатами (h;0;0).
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (2) немає.
3. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y=h:
(3)
Рівняння еліпсів, проекцій на YOZ і мають центри (0;h;0).
Півосі ,
Якщо , тоді , рівняння крапок з координатами (0;h;0).
Якщо , тоді ми одержуємо сімейство еліпсів
, ;
, ;
Якщо , тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (3) немає.
Побудуємо гіперболоїд
у канонічній системі координат проаналізувавши рівняння поверхні й результати дослідження методом перетину її площинами.
Висновок
Проаналізувавши рівняння еліпсоїда
одержали деякі подання про форму еліпсоїда.
З рівняння треба, що осі OX, OY, OZ - осі симетрії, площини XOY, YOZ, XOZ - площини симетрії.
Розсікаючи поверхню площинами y=h, z=h, x=h, у перетинах маємо еліпси, найбільші з яких виходять у площинах x=0, y=0, z=0, півосі їх зменшуються зі збільшенням , вершини еліпсів мають координати
по осі X; по осі Y; по осі Z
Список літератури
- Копилова Т. В. Конспект лекцій по лінійній алгебрі. К., 2005
- Копилова Т. В. Лінійна алгебра. К., 1996
- Єфімова Л. В., Демидович Б. П. Лінійна алгебра й основи математичного аналізу. К., 1993.