Дослідження дзета-функції Римана
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
них чисел. Уперше розглянув дзета-функцію як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Риман, що глибоко вивчив її властивості й широко застосовував її в теорії чисел. На честь його функція одержала свою назву.
Для комплексної дзета-функції залишається в силі визначення, дане в главі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. Із цією метою доведемо наступне твердження: у напівплощині ( дійсна частина числа x) ряд
(1) сходиться абсолютно.
Нехай . Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1), . Перший множник містить тільки речовинні числа й , тому що . До другого ж множника застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо . Виходить, . Через збіжність ряду при ?>1, маємо абсолютну збіжність ряду (1).
На своїй області визначення дзета-функція аналітична. Дійсно, при всякому q>0 і фіксованому ?>1+q, числовий ряд мажорирує ряд з абсолютних величин , де , звідки, по теоремі Вейерштраса, треба рівномірна збіжність ряду в напівплощині . Сума ж рівномірно збіжного ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією.
Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Доказу перетерплюють незначні перетворення, повязані з переходом до абсолютних величин.
У звязку із цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції в добуток , де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що . Застосуємо його до доказу відсутності у функції корінь.
Оцінимо величину , використовуючи властивість модуля : , де як звичайно . Тому що , те, а , отже, дзета-функція в нуль не звертається.
Питання про нулі дзета-функції, а також інші прикладні питання одержують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції й виведемо її функціональне рівняння, що характеризує й однозначно визначальне .
Для цього нам знадобиться формула
(2), що виводиться в такий спосіб. Використовуючи властивості інтегралів можна записати . Для будь-якого d при , значить і , а . . Отже, . Інтеграл можна знайти інтегруванням вроздріб, приймаючи , ; тоді , а . У результаті . Віднімемо із цього інтеграла попередній і одержимо , звідси легко треба рівність (2).
Тепер покладемо в (2) , , a і b цілі позитивні числа. Тоді . Нехай спочатку , приймемо a=1, а b спрямуємо до нескінченності. Одержимо . Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:
(3).
Вираження є обмеженим, тому що , а функція абсолютно інтегрувальна на проміжку при , тобто при , . Виходить, інтеграл абсолютно сходиться при , причому рівномірно в будь-якій кінцевій області, що лежить у комплексній площині праворуч від прямої . Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s, регулярну при . Тому права частина рівності (3) являє собою аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину й має там лише один простий полюс у крапці з відрахуванням, рівним одиниці.
Для можна перетворити вираження (3) дзета-функції. При маємо , виходить, і . Тепер при (3) може бути записане у вигляді .
Небагато більше складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину . Покладемо , а , тобто первісна для . обмежено, тому що , а інтеграл і обмежений через те, що . Розглянемо інтеграл при x1>x2 і . Інтегруємо його вроздріб, прийнявши , , тоді , а по зазначеному вище твердженню . Одержуємо . Візьмемо , а . Маємо , , тому що є обмеженою функцією. Виходить,
(4).
Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла , якщо , і обмеженістю функції , робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при . Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію й на напівплощину правіше прямій .
Неважко встановити, що для негативних , тому з (3) маємо
(5) при .
З теорії рядів Фурє відомо, що для нецілих значень x справедливе розкладання в ряд
(6).
Підставимо його в рівність (5) і інтегруємо ряд:
. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку , звідси треба , а , і одержимо далі . Відомо, що , значить . З відомого співвідношення для гамма-функції , по формулі доповнення , отже
Отже, ми одержали функціональне рівняння дзета-функції Римана
(7),
яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, тому що цілком характеризує її, у тому розумінні, що будь-яка інша функція , що задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна с.
Поки, щоправда, як треба з міркувань, ми довели формулу (7) для . Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при . Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при .
Щоб доказ був строгим, ми повинні ще обґрунтувати по членне інтегрування. Оскільки ряд (6) сходяться майже всюди і його часткові суми залишаються обмеженими, по членне інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку припустимо. Через для кожного , залишається довести, що при . Але інтегруючи внутрішній інтеграл вроздріб маємо
. Звідси без праці виходить наше твердження.
Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1-s, одержуємо рівносильну рівність
(8). З нього м?/p>