Дифференциальное уравнение
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
1.Решить уравнение
Решение:
- уравнение с разделяющимися переменными
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
- общее решение уравнения
Ответ:
2.Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение:
Сделаем замену
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
- общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
3.Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
,
Решение:
Решаем уравнение методом Бернулли:
Для решения исходного уравнения необходимо решить систему уравнений
(*)
Решим первое уравнение системы (*):
Проинтегрируем обе части полученного уравнения
Подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы (*) и решим его.
Проинтегрируем обе части полученного уравнения.
- общее решение дифференциального уравнения
Найдем частное решение уравнении при условии .
- частное решение дифференциального уравнения
Ответ:
4.Найти общий интеграл уравнения
,
Решение:
,
Таким образом, данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах.
Решим второе уравнение системы:
Найдем от найденной функции и подставим в первое уравнение полученной выше системы:
- общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
5.Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
, ,
Решение:
Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:
Тогда общее решение однородного уравнения запишем в виде
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему
Решим полученную систему методом Крамера. Вычислим главный определитель:
Вычислим побочные определители:
Частное решение запишем в виде
Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение, отвечающее начальным условиям.
- решение задачи Коши
Ответ:
6.Решить уравнение
Решение:
Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:
Тогда
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку не является корнем характеристического уравнения, то искать его будем в виде
Подставим найденные значении производных в исходное уравнение:
Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
общее решение неоднородного уравнения
Ответ:
7.Исследовать сходимость ряда
Решение:
Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера.
Поскольку , то ряд расходится
Ответ: ряд расходится
8.Найти область сходимости функционального ряда
(1)
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда (1):
- интервал сходимости ряда (1)
Исследуем сходимость ряда в граничных точках:
: (2)
Исследуем ряд (2)на сходимость:
условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (2) сходится
Рассмотрим ряд из модулей (3)
Данный ряд расходится как геометрический.
Поскольку ряд (2) сходится, а ряд (3) из модулей расходится, то ряд (2)сходится условно.
: (4)
Исследуем ряд (4)на сходимость:
условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (4) сходится
Рассмотрим ряд из модулей (5)
Данный ряд расходится как геометрический.
Поскольку ряд (4) сходится, а ряд (5) из модулей расходится, то ряд (4) сходится условно.
Таким образом, окончательно получаем интервал сходимости
Ответ: ряд сходится при ; причем, при соответствующие знакочередующиеся ряды сходятся условно
.Разложить в степенной ряд функцию в окрестности точки и найти интервал сходимости ряда.
Решение:
Вычислим несколько производных указанной функции:
Найдем радиус сходимости полученного ряда:
Исследуем граничные точки.
: (1)
, т.е. не существует предела частичных сумм ряда (1), следовательно, этот ряд расходится
: (2)
т.е. не существует предела частичных сумм ряда (2), следовательно, этот ряд расходится
Ответ: , данный ряд сходится при
.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на отрезке .
Решение:
Поскольку - нечетная функция на , то ее ряд Фурье будет содержать только синусы.
Вычислим коэффициенты ряда Фурье:
Тогда ряд Фурье исходной функции имеет вид:
1.На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все уч?/p>