Динамика идеальной жидкости
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?си Ox и Oy:
(1.3.3)
где - координаты нормали к обтекаемому контуру.
В данном случае , проекция на Ox главного вектора сил, действующего на горизонтальную составляющую контура, равна 0.
Найдем теперь главный вектор сил, действующий на наклонную составляющую контура. Напомним, что она наклонена к оси Ox под углом . Тогда нормаль к ней будет равна и проекции главного вектора сил будут равны:
Главный вектор сил, действующий на весь контур, будет равен геометрической сумме ранее найденных векторов. Запишем его в проекциях на оси:
Направление главного вектора сил изображено ниже:
Для заданной функции для плоского деформированного состояния проверить, что - бигармоническая; найти компоненты тензора напряжения и проверить условие нормировки
Функция является бигармонической, если она удовлетворяет уравнению:
(2.1.1)
Для двумерного пространства (1.1) примет следующий вид:
Из последнего выражения следует, что если представляет собой линейную, квадратичную или кубичную форму, то она будет тождественно удовлетворять уравнению (2.1.1).
Рассмотрим функцию
(2.1.2)
Она представляет собой кубичную форму, а значит удовлетворяет уравнению (2.1.1). Найдем тензор напряжений для плоского деформированного состояния. Последнее означает, что деформации вдоль одной из 3х осей (в нашем случае - вдоль ) равна 0. Однако, это не означает, что напряжения вдоль равны 0. Значит тензор напряжения будет иметь 4 компоненты (фактически 5, но в силу симметричности 2 ненулевые недиагональные компоненты будут равны). Связь напряжений с функцией имеет следующий вид:
(2.1.3)
Все остальные компоненты, кроме , будут нулевыми. Оставшуюся компоненту найдем из закона Гука, записав его для деформации :
Отсюда
(2.1.4)
где - коэффициент Пуассона.
Подставив (2.1.2) в (2.1.3)-(2.1.4), получим компоненты тензора напряжений:
(2.1.5)
Проверим условие равновесия. Используем уравнение движения:
Массовые силы отсутствуют, правая часть равна 0 для равновесного состояния, значит, остается условие:
(2.1.6)
Запишем (2.1.6) в покомпонентном виде:
Так как компоненты тензора напряжений не зависят от , а последний столбец - нулевой, за исключением диагонального, то i,j=1,2. Тогда условие (2.1.6) сводится к следующему виду:
(2.1.6а)
Очевидно, что компоненты (2.1.5) отвечают условиям (2.1.6а). Это означает, что выполняются условия равновесия.
Найти гидростатическую и девиаторную составляющие тензора напряжений, интенсивность напряжений
Представим тензор напряжений в виде суммы двух тензоров:
где - единичный тензор.
Составляющая называется гидростатической составляющей, а - девиаторной.
Найдем сначала гидростатическую составляющую. - первый инвариант тензора напряжений:
(2.2.1)
Теперь, зная и , можно напрямую найти :
(2.2.2)
Определив девиатор, мы можем вычислить интенсивность напряжений:
Найдем интенсивность с помощью пакета MathCAD:
Построить эпюры напряжений на границах заданной области
Вектор напряжения в некоторой точке поверхности вычисляется по формуле:
(2.3.1)
В плоском случае - нормаль к границе двумерной области. Распишем для удобства вычисления (3.2.1) в покомпонентном виде:
(2.3.1а)
Область представлена на рисунке ниже:
Удобнее строить для каждой стороны эпюры нормальных и касательных составляющих вектора напряжений. Для этого определим нормальные и касательные вектора для каждой границы области.
OB:
BА:
OА:
Проекция вектора на нормаль (касательный вектор) и будет нормальной (касательной) составляющей.
(2.3.2)
Вычислим эти оставляющие для каждой границы:
ОВ:
ВА: (2.3.3)
ОА:
Чтобы исключить одну из переменных в (2.3.3), запишем уравнение границ:
ОВ:
ВА: (2.3.4)
ОА:
Перепишем (2.3.3) с учетом (2.3.4):
ОВ:
ВА:
ОА:
Построим теперь эпюры для каждой из границ:
Напряжения для границы ОВ
Напряжения для границы ВА
Напряжения для границы ОА
Найти тензор деформации Коши-Грина, полагая материал линейно упругим
Если материал линейно упругий, значит, для него действует закон Гука, который связывает тензор напряжений с тензором деформации . Значит, компоненты можно найти следующим образом:
(2.4.1)
Остальные же деформации будут равны 0 (в случае плоского деформированного состояния).
Зная тензор напряжения, найдем деформации:
Найти поле перемещений, считая, что точка О(0;0) неподвижна и поворот в плоскости вокруг оси, проходящей через О(0;0) отсутствует
Для нахождения поля перемещения, воспользуемся формулой, которая связывает перемещения с деформациями:
(2.5.1)
Запишем выражение (2.5.1) в покомпонентном виде:
Из последнего выражения получаем, что: