Двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
>
Між розвязками спряжених задач крім рівності значень цільових функцій існує тісніший взаємозвязок. Для його дослідження розглянемо дві симетричні задачі лінійного програмування.
Пряма задача:
(3.20)
.
Двоїста задача:
(3.21)
Для розвязування задач симплексним методом необхідно звести їх доканонічної форми, для чого в системи обмежень задач (3.20) і (3.21) необхідно ввести відповідно m та n невідємних змінних. Поставимо обмеженням кожної задачі у відповідність змінні її двоїстої задачі.
Отримали таку відповідність між змінними спряжених задач:
Наступна теорема в літературі, як правило, має назву теореми про доповнюючу нежорсткість.
Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:
(3.22)
. (3.23)
Доведення. Необхідність. Нехай X* та Y* оптимальні плани відповідно прямої та двоїстої задач (3.20) i (3.21). З першої теореми двоїстості відомо, що
,
а також компоненти векторів X* та Y* задовольняють системи обмежень задач (3.20) та (3.21), тобто:
, (3.24)
. (3.25)
Помножимо (3.24) на , а (3.25) на і підсумуємо праві та ліві частини. Отримаємо:
;
Праві частини останніх двох нерівностей не збігаються, але оскільки їх ліві частини однакові, то це означає, що разом вони виконуються лише за умови рівностей, тобто:
;
Виконаємо перетворення для кожного рівняння:
; (3.26)
. (3.27)
Оскільки , то в рівнянні (3.26) кожна з компонент , а , тому виконання рівняння (3.26) можливе лише у тому разі, коли кожний доданок виду . Аналогічне міркування проведемо для (3.27), після чого можна висновувати, що .
Достатність. За умовою виконуються рівняння
,
, .
Необхідно довести, що X* та Y* оптимальні плани відповідно прямої (3.20) та двоїстої (3.21) задач. У кожному рівнянні розкриємо дужки та підсумуємо перше рівняння по , а друге по . Отримаємо:
;
.
Ліві частини цих рівнянь однакові, отже, . Тоді за першою теоремою двоїстості, оскільки значення цільових функцій цих задач збігаються, можна висновувати, що X* та Y* оптимальні плани спряжених симетричних задач. Теорему доведено.
Очевидніший взаємозвязок між оптимальними планами прямої та двоїстої задач встановлює наслідок другої теореми двоїстості.
Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна і-та компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює нулю.
Якщо і-та компонента оптимального плану однієї із задач додатна, то відповідне і-те обмеження спряженої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.
Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є цінним.
Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові , тобто його використано повністю, то він є цінним для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від нуля.
Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y* двоїстої задачі: у разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну сj, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю.
Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції , то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .
3.3 Третя теорема двоїстості
Як було зясовано в попередньому параграфі, існування двоїстих змінних уможливлює зіставлення витрат на виробництво і цін на продукцію, на підставі чого обґрунтовується висновок про доцільність чи недоцільність виробництва кожного виду продукції. Крім цього, значення двоїстої оцінки характеризує зміну значення цільової функції, що зумовлена малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Дане твердження формулюється у вигляді такої теореми.
Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами , або
(3.28)
Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі:
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Двоїсту задачу до задачі (3.29) (3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план , за якого мінімізується значення
(3.32)
за умов:
(3.33)
причому умова невідємності змінних відсутня.
Позначимо оптимальний план двоїстої задачі, оптимальний план задачі (3.29) (3.31). За першою теоремою двоїстості відомо,