Двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
?, то вони мають бути виду . Тому друге обмеження задачі необхідно помножити на (1). При цьому знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:
Двоїста задача:
Оскільки перше обмеження початкової задачі є рівнянням, то відповідна йому змінна двоїстої задачі може набувати як додатного, так і відємного значення.
3. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст
Звязок між оптимальними розвязками прямої та двоїстої задач встановлюють леми та теореми двоїстості. Розглянемо задачі (3.1) (3.3) та (3.4) (3.6) з економічною інтерпретацією.
Якщо та допустимі розвязки відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність
або . (3.7)
Доведення. Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:
Підсумувавши праві і ліві частини нерівностей, отримаємо:
. (3.8)
Аналогічно перетворимо систему обмежень (3.5) двоїстої задачі:
Підсумувавши після множення тут також ліві та праві частини, отримаємо нерівність:
(3.9)
Ліві частини нерівностей (3.8) та (3.9) збігаються, отже:
.
Нерівність (3.7) доведено.
Якщо та допустимі розвязки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність
(3.10)
то X*, Y* оптимальні розвязки відповідних задач.
Доведення. Нехай допустимий план прямої задачі (3.1) (3.3). Тоді на підставі нерівності (3.7) маємо: . За умовою задачі , отже
(3.11)
Оскільки за допущенням довільний допустимий план прямої задачі, то нерівність (3.11) виконується для будь-якого з можливих розвязків. Отже, маємо, що при цільова функція (3.1) набирає найбільшого значення, тобто є оптимальним розвязком початкової задачі.
В аналогічний спосіб доводиться, що оптимальний план двоїстої задачі.
3.1 Перша теорема двоїстості
Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розвязок, причому для оптимальних розвязків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто .
Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розвязку.
Доведення. Допустимо, що початкова задача (3.1) (3.3) має оптимальний план, який отриманий симплексним методом. Не порушуючи загальності, можна вважати, що останній базис складається з першихm векторів . Остання симплексна таблиця має вигляд:
Таблиця 3.1
іБазисСбПланс1с2…сmcm + 1…cnx1x2…xmxm + 1…xn1x110…0…2x201…0…mxm00…1…m + 1F000…0…
Позначимо через D матрицю, що утворена з компонент векторів А1, А2,…, Аm останнього базису в першій симплексній таблиці.
Для оптимального плану отримаємо:
(3.12)
де , В-вектор, що складається з вільних членів системи обмежень.
Звідси:
(3.13)
Симплексна таблиця3.1 містить коефіцієнти розкладу векторів початкової системи обмежень задачі за векторами базису, тобто кожному вектору з системи обмежень задачі (3.1) (3.3) Аj відповідає в симплексній таблиці вектор , такий що
(3.14)
Позначимо через матрицю, що складається з коефіцієнтів розкладу векторів . Тоді буде справджуватися рівність:
, звідки
. (3.15)
Враховуючи (3.13), значення оптимального плану даної задачі знаходиться у вигляді:
де , причому
,
тобто всі компоненти вектора є оцінками оптимального плану задачі (3.1) (3.3), а тому
. (3.16)
Оскільки оптимальний план початкової задачі подано у вигляді , то за правилами побудови двоїстої задачі можна допустити, що її оптимальний план матиме вигляд:
. (3.17)
Доведемо, що дійсно є оптимальним планом двоїстої задачі.
Система обмежень двоїстої задачі у векторно-матричній формі матиме вигляд: .
Підставимо в цю нерівність значення . Тоді, враховуючи (3.15), (3.16) та (3.17), отримаємо: .
Звідки: . Отже, задовольняє систему обмежень (3.5) двоїстої задачі, тому є допустимим планом задачі (3.4) (3.6).
Для даного плану значення функціонала дорівнюватиме:
, (3.18)
де . Підставимо в (3.18) значення з (3.17) та, враховуючи (3.13), матимемо:
. (3.19)
Доведено, що збігається зі значенням оптимального плану початкової задачі.
Отже, за лемою3.2 (достатня умова оптимальності плану задачі лінійного програмування) план є оптимальним планом двоїстої задачі (3.4) (3.6).
Аналогічно доводиться, що коли двоїста задача має розвязок, то початкова також має розвязок і виконується рівність: .
Для доведення другої частини теореми допустимо, що лінійна функція початкової задачі необмежена зверху. Тоді з нерівності маємо, що , що не має змісту. Отже, двоїста задача в даному разі не має розвязків. Доведена теорема дає змогу в процесі розвязування однієї задачі водночас знаходити план другої.
Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (Fmax) підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом , однак таку саму суму грошей () воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами . За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.
3.2 Друга теорема двоїстості