Вычислительная математика
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
ck, bk и решить систему уравнений (4.18). Матрица C системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.
Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит
= . (4.20)
Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.
1. Линейная аппроксимация (m = 1).
P1(x) = a0 + a1x.
c0 = = n + 1; c1 = = ; c2 = ; (4.21)
b0 = = ; b1 = = . (4.22)
c0 c1 n+1
C = = ,
c1 c2
b = (b0, b1)T = (,)T.
Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:
a0 = , a1 = ,
где C определитель матрицы C, аCi определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.
Таким образом,
a0 = , a1 = . (4.23)
Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).
Шаг 1. Ввести исходные данные: xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, b0, b1 по формулам (4.21), (4.22).
Шаг 3. Вычислить a0, a1 по формулам (4.23).
Шаг 4. Вычислить величину погрешности
1 = . (4.24)
Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P1(x) = a0 + a1x и величину погрешности 1.
2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).
P2(x) = a0 + a1x + a2x2.
c0 == n+1; c1 ==; c2 =; c3 =; c4 =. (4.25)
b0 ==; b1 ==; b2 = . (4.26)
c0 c1 c2
C = c1 c2 c3 .
c2 c3 c4
b = (b0, b1, b2)T .
Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:
ai = , i = 0, 1,
где C определитель матрицы C, аCi определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.
C = c0c2c4 + 2c1c2c3 c сc4 cc0. (4.27)
b0 c1 c2
C1 = b1 c2 c3 = b0c2c4 + b2c1c3 + b1c2c3 b2c b1c1c4 b0c. (4.28)
b2 c3 c4
c0 b0 c2
C2 = c1 b1 c3 = b1c0c4 + b0c2c3 + b2c1c2 b1c b0c1c4 b2c0c3. (4.29)
c2 b2 c4
c0 c1 b0
C3 = c1 c2 b1 = b2c0c2 + b1c1c2 + b0c1c3 b0c b2c b1c0c3. (4.30)
c2 c3 b2
a0 = , a1 = , a2 = . (4.31)
Алгоритм 4.2 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).
Шаг 1. Ввести исходные данные: xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.25), (4.26).
Шаг 3. Вычислить C, C1, C2, C3 по формулам (4.27) (4.30).
Шаг 4. Вычислить a0, a1, a2 по формулам (4.31).
Шаг 5. Вычислить величину погрешности
2 = . (4.32)
Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P2(x) = a0 + a1x + a2x2 и величину погрешности 2.
Пример 4.6.
Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения yi в точках xi , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.
Таблица 4.1
i01234xi12345yi11246
Вычислим коэффициенты c0, c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.25), (4.26):
c0 = 5; c1 = 15; c2 = 55; c3 = 225; c4 = 979;
b0 = 12; b1 = 53; b2 = 235.
1. Линейная аппроксимация (m =1).
Система уравнений для определения коэффициентов a0 и a1 многочлена первой степени P2(x) = a0 + a1x + a2x2 имеет вид
5a0 + 15a1 = 12
15a0 + 55a1 = 53
По формулам (4.23) найдем коэффициенты a0 и a1:
a0 = 2.7, a1 = 1.7.
P1(x) = a0 + a1x = 2.7 + 1.7x.
2. Квадратичная аппроксимация (m =2).
Система уравнений для определения коэффициентов a0, a1 и a2 многочлена второй степени P2(x) = a0 + a1x + a2x2 имеет вид
5a0 + 15a1 + 55a2 = 12
15a0 + 55a1 + 225a2 = 53
55a0 + 225a1 + 979a2 = 235
По формулам (4.31) найдем коэффициенты a0, a1 и a2:
a0 2.20, a1 1.27, a2 0.07.
P2(x) = a0 + a1x + a2x2 = 2.20 + 1.27x + 0.07x2.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.2.4.
Таблица 4.2
i01234xi12345yi11246P1(xi)10.72.44.15.8P2(xi)10.622.2446.9
Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.24) и (4.32) составит
1 = = 0.245.
2 = = 0.084.
Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной
5.1 Постановка задачи численного интегрирования