Высшая математика
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Контрольная работа №1
Вариант 5
Задача №1. Даны четыре вектора , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.
Проверим, образуют ли векторы , , базис.
Три вектора образуют базис, если они не лежат в одной плоскости. Найдем смешанное произведение векторов , , .
Поскольку смешенное произведение векторов не равно 0, то векторы , , образуют базис.
Найдем координаты вектора в базисе .
.
Подставляя координаты векторов, получим систему линейных алгебраических уравнений, которую решим по формулам Крамера.
Воспользуемся формулами Крамера:
, , ,
где - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
== 42 + 0 +18 +0 +30 - 28 = 62;
= 42 + 0 - 156 +0 + 30 - 21 = -105;
= 42 +0 +36 +0 + 312 - 56 = 334;
= 312 + 40 -18 +36 - 30 -208 = 132.
Найдем , , .
. Ответ:
Задача №2 Даны вершин пирамиды , , , . Найти:
длину ребра ;
угол между ребрами и ;
угол между ребром и гранью ;
площадь грани ;
- объем пирамиды;
уравнения прямой ;
уравнение плоскости ;
уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;
Сделать чертеж.
Решение:
1) Длина d отрезка, проходящего через точки с координатами , вычисляется по формуле:
Поставим в формулу координаты точек и .
Получим
.
2) Угол ? между векторами находится по формуле:
=
Найдем координаты векторов и .
= .
=.
Тогда = =.
радиан.
) Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
, где - нормальный вектор плоскости.
Так как и ,
то вектор можно найти как векторное произведение векторов и .
== .
Нормальный вектор плоскости равен (7, 26, -8).
Тогда == = .
радиан.
) Найдем площадь грани по формуле
Из пункта 3 имеем =.
Тогда = = = .
= = .
) Объем пирамиды вычислим по формуле
= ,
где - смешанное произведение векторов , , .
Вычислим .
== =.
Значит, ==.
) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
Подставим координаты точки и вектора , получим:
= = - канонические уравнения прямой .
) Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору имеет вид:
.
Нормальный вектор плоскости имеет координаты (7, 26, -8) (вычислено п. 3).
, откуда - уравнение плоскости .
) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости - = (7, 26, -8).
Тогда - уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Сделаем чертеж:
Задача №3 Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку
Решение.
Т.к. каждая точка линии является центром окружности, касающейся оси абсцисс, то радиус окружности в произвольной точке линии будет перпендикулярен оси абсцисс. Значит, линия параллельна оси абсцисс.
Тогда уравнение линии имеет вид:
Ответ: .
Задача №4. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами. 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Решение
Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Умножим первую строку матрицы на -4 и прибавим ко второй.
Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим к третьей.
Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на -7.
.
Получили ступенчатую матрицу. и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.
Решим систему методом Гаусса.
Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .
.
(3, 8, 13) - решение системы.
. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме , где
, ,
Решение системы в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
= ,
где - алгебраическое дополнение к элементу.
= = 3 - 4 + 2 -6 -1 +4 = -2
=========
Обратная матрица имеет вид:
=.
Найдем решение системы.
== =.
(3, 8, 13) - решение системы.
Ответ: (3, 8, 13).
Задача №5. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
линейный алгебраическое уравнение пространство
Решение.
Составим матрицу, из коэффициентов системы.
Поменяем первую и третью строки местами.
Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим ко второй.
Умножим первую строку матрицы на -7 и прибавим к третьей.
Далее вторую строку матрицы умножим на -3 и прибавим к третьей.
Получили трапециевидную матрицу, следовательно, система совместна и не определена.
Очевидно, что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, и две - свободными. Значит, фундаментальная система решений системы содержит 4-2=2 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных неизвестных , тогда переменные будут свободными.
Система, соответствующая преобра?/p>