Высшая математика
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
·ованной матрице, имеет вид
.
Или иначе:
.
Фундаментальная совокупность решений, является базисом линейного пространства решений исходной системы. Следуя общему правилу, полагаем ; затем - . В результате приходим к двум частным решениям, которые и составляют фундаментальный набор.
; .
Размерность искомого пространства равна 2.
Все решения данной системы выражаются через фундаментальный набор:
, где произвольные числа.
Ответ: .
Задача №6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение.
Пусть есть столбец координат неизвестного собственного вектора, принадлежащего собственному значению . , т.е.
(1).
Эта система имеет ненулевые решения только при условии равенства нулю её определителя .
Составим характеристическое уравнение.
= = ;
Решим уравнение ; . Откуда получим: , , .
, , . - собственные значение матрицы.
При система 1 примет вид.
,
Собственный является любой вектор вида: , .
При система 1 примет вид.
,
Собственный является любой вектор вида: , .
При система 1 примет вид.
,
Собственный является любой вектор вида: , .
Задача№7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
.
Решение.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна
.
Собственными числами данной матрицы будут
.
Решим уравнение =0 получим: , .
При имеем:
,
Собственным является любой вектор вида: , .
При имеем:
,
Собственный является любой вектор вида: , .
Получим собственные векторы
;
Выполним преобразование:
;
;
;
;
;
- эллипс с полуосями и .
Задача №8 Построить график функции преобразованием графика функции .
Решение
Задача №9 Дана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток , начиная от ; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительное полуось абсцисс - с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение.
Построим кривую . Сведем данные в таблицу:
054,072,661,751,250,970,820,740,710,740,820,971,251,752,664,075
Построим график функции по данным таблицы.
Найдем уравнение кривой в прямоугольных координатах.
; ; .
; ; ; ; ; ;
; ;
; - эллипс с центром в точке и большей полуосью , и меньшей полуосью
Задача №10 Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение.
а)= = = =
===4.
Чтобы раскрыть неопределенность поделили числитель и знаменатель на старшею степень.
б) ==
=
= =
=
== .
Чтобы раскрыть неопределенность помножили числитель на сопряженное выражение, знаменатель разложили на множители.
в) = = = =
==
=.
=-5.
При решении примера использовали первый замечательный предел и его следствие .
) == =
==== =
= = = = -1. При решении примера был использован второй замечательный предел .
Задача №11 Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить является ли заданная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений; 2) в случае разрыва найти пределы при приближении к точке слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Решение.
Найдем область определения функции: . Функция неопределенна при .
Чтобы определить является ли функция непрерывной в заданной точке, воспользуемся критерием непрерывности функции. Для этого для каждой точки найдем односторонние пределы.
Для точки
; ; .
Согласно критерия т.к. , то функция непрерывна в точке .
Для точки
; .
Согласно критерия т.к. , то функция имеет в точке разрыв второго рода.
Сделаем схематический чертеж функции.
Задача №12 Заданы функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменой. Найти точки разрыва функции, если они существуют сделать чертеж.
Решение.
Область определения функции . На интервалах (-1, 0),
(0, 2), (2, +) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции.
Рассмотрим точку . Найдем односторонние пределы в точке .
, .
Так как , то в точке имеет непрерывна.
Рассмотрим точку .
, .
Так как , то в точке имеет разрыв первого рода. Скачек равен .
Строим график функции:
Задача №13 Найти производную данных функций.
а) ;
===
===
===
= = .
б) ;
= = =
== .
в) .
= = =
= = .
г) .
Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию: . Применим свойство логарифмов: .
Тогда . Дифференцируем обе части равенства:
; ;
; .
) .
; ;
; ; .
.