Власні значення і власні вектори матриці
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Міністерство освіти і науки України
Криворізький державний педагогічний університет
Кафедра математики
Курсова робота з математики
Власні значення і власні вектори матриці
Студента ІV курсу фізико-математичного факультету
Палія Валерія Миколайовича
Науковий керівник
ст. викладач Корольська Л. Р.
Кривий Ріг
2009 р.
ЗМІСТ
Вступ
Розділ І. Основні відомості з лінійної алгебри
1.1Види матриць. Дії над матрицями. Визначник
1.2Власні значення та власні вектори матриці
Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць
2.1Метод А. М. Данілевського
2.2Метод А. Н. Крилова
2.3Метод Леверрьє
2.4Метод невизначених коефіцієнтів
2.5Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці
2.6приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Історично першим розділом лінійної алгебри був розділ теорії лінійних рівнянь. Згодом у звязку з розвязанням системи лінійних рівнянь було введено поняття "визначник" в 1750 році Крамером. У звязку з вивченням лінійних рівнянь та визначників вводиться поняття матриці в 1877 році Г. Фробеніусом. В кінці 19 століття зявився новий розділ лінійної алгебри "Власні значення та власні вектори матриць". Цей розділ має прикладне значення.
Як зясувалося, деякі спеціалісти донині цікавляться такою проблемою лінійної алгебри, як обчислення власних значень та власних векторів матриць. Ця проблема виникає в багатьох областях математики, механіки, інженерної справи та геології.
Актуальність нашого дослідження полягає втому, що цілий ряд інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдиний розвязок лише в тому випадку, коли відоме значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, або власним, значенням системи. Із задачами на власні значення інженер стикається в різних ситуаціях. Так, для тензорів напруги власні значення визначає головна нормальна напруга, а власними векторами задаються напрями, повязані з цими значеннями. При динамічному аналізі механічних систем власні значення відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань. При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначати критичні навантаження, перевищення яких приводить до втрати стійкості. Вибір найбільш ефективного методу обчислення власних значень або власних векторів для даної інженерної задачі залежить від ряду чинників, таких, як тип рівнянь, число шуканих власних значень і їх характер.
Обєктом нашого дослідження є елементи лінійної алгебри.
Предмет дослідження: методи знаходження власних значень і власних векторів матриць.
Задачі дослідження:
1)Аналіз навчальної та методичної літератури з теми дослідження.
2)Обгрунтувати методи знаходження власних векторів і власних значень матриць.
3)Навести приклади знаходження власних векторів і власних значень матриць.
Розділ І. Основні відомості з лінійної алгебри
1.1Види матриць. Дії над матрицями. Визначник
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, яка складається з деякої кількості m рядків та деякої кількості n стовпців.
Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком. [2, стор. 10]
Щоб записати матрицю, виписують належним чином позначення її елементів та отриману таблицю беруть в дужки або обмежують подвійними лініями.
Таким чином, загальний вигляд матриці розмірності (m, n) буде таким
, , ,
де aij - позначення елементів з множини C. Часто замість такого докладного запису вживають скорочений: || aij || або || aij ||m,n.
Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною, а кількість її рядків, що дорівнює кількості стовпців, називається порядком квадратної матриці.
Матрицю, що має тільки один рядок, називають просто рядком матриці, а кількість його елементів - довжиною рядка. В подальшому матриці будуть позначатися великими літерами латинського алфавіту.
Дві матриці називаються рівними, якщо кількість рядків і стовпців у них відповідно рівні та якщо рівні числа, що стоять на відповідних місцях цих матриць. Таким чином, одна рівність між (m, n)-матрицями рівносильна системі mn рівностей між їх елементами.
Основними матричними операціями є множення числа на матрицю або матриці на число, додавання та перемноження двох матриць. За означенням, для того щоб помножити число ? на матрицю А або матрицю А на число ?, необхідно помножити ? на всі елементи матриці А. Наприклад,
Матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею і позначається О. Якщо бажають вказати явно кількість рядків і стовпців нульової матриці, то пишуть Оmn.
Блочні матриці. Припустимо, що деяка матриця за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких являє собою матрицю менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. В такому разі виникає можливість розгляду вихідної матриці А як деякої нової (так званої блочної) матриці , елемент