Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
µктивністю її складових частин.
У звязку з тим, що систему доводиться характеризувати сукупністю показників якості (цільових функції), це ускладнює процес вибору оптимальних варіантів систем. При цьому мають місце три випадки: показники якості не повязані між собою; показники якості звязані між собою, але є узгодженими; показники якості звязані між собою і є конкуруючими (антагоністичними).
У першому випадку знаходження оптимальних варіантів системи виконується шляхом оптимізації по кожній із цільових функцій незалежно
.(2)
У другому випадку оптимальні варіанти можуть знаходитися також шляхом оптимізації окремих цільових функцій, тобто цей випадок близький до першого.
У третьому випадку оптимуми по різним цільових функціях не збігаються. Розвязанням цієї задачі є узгоджений оптимум цільових функцій. Узгоджений оптимум полягає в тому, що досягається мінімальне (максимальне) значення кожнієї цільової функції за умови, що інші цільові функції приймають фіксовані, але довільні значення.
Ординалістичний підхід апелює до порядку (краще-гірше) і базується на введенні певних бінарних відношень на множині допустимих систем. У цьому випадку поняття переваги замовника системи - це бінарне відношення на множині допустимих систем , яке відображує уяву замовника системи, що система краща за систему : .
На практиці часто при виборі системи на множині можна керуватися відношенням строгої переваги , що є асиметричним і транзитивним. При цьому система називається оптимальною за відношенням , якщо не існує іншої системи , для якої справедливе відношення . Множина оптимальних систем за відношенням означається як . Залежно від структури допустимої множини і властивостей відношення множина оптимальних систем може включати єдиний елемент, скінченне або нескінченне число елементів. Якщо відношення нероздільності збігається з відношенням рівності , то множина (якщо вона не порожня) складається з єдиного елемента.
Із введенням сукупності цільових функцій кожна система відображується на простір векторних оцінок (критеріальний простір). При цьому вказане відношення строгої переваги існує і для оцінок. Узгодженість відношення переваги на множині проектних рішень і просторі векторних оцінок встановлює аксіома Парето. Згідно з нею для будь-яких двох векторних оцінок , що задовольняють векторну нерівність , завжди виконується відношення .
Множину оптимальних оцінок відносно на просторі називають множиною Парето-оптимальних (оптимальних за Парето) або ефективних оцінок і позначають . Включення має місце тоді і тільки тоді, коли немає оцінок, для яких виконується нерівність . Такий критерій вибору оптимальних рішень називають безумовним критерієм переваги (БКП) або критерієм Парето.
Проектні рішення, тобто варіанти побудови системи , для яких справджується включення називають Парето-оптимальними відносно векторної цільової функції на множині і позначають як . Іншими словами, тоді і тільки тоді, коли не існує такої системи , для якої виконується векторна нерівність.
.(3)
Співвідношення (3) означає, що виконуються нерівності для всіх і принаймні для одного з показників якості виконується строга нерівність.
Слід зазначити, що відношення строгої переваги , яке має місце для векторних оцінок, перетворюється при на відношення для скалярних оцінок. При цьому Парето-оптимальна оцінка збігається з максимальним елементом множини , якому відповідає оптимум скалярної цільової функції . Таким чином, поняття Парето-оптимальності слід розглядати як узагальнення поняття оптимуму на випадок кількох цільових функцій. При цьому оптимум за Парето - це узгоджений оптимум звязаних між собою і конкуруючих показників якості системи.
Для Парето-оптимальних проектних рішень характерні такі властивості:
1. Усі елементи множини допустимих варіантів системи , що не належать до множини Парето-оптимальних , є безумовно гіршими.
Жодна Парето-оптимальна система з множини не може бути визнана безумовно гіршою або кращою порівняно з іншою системою цієї множини. Це означає, що всі вони є незрівнянними за критерієм Парето - безумовним критерієм переваги.
3. Якщо множина узгоджена, тобто містить лише один елемент (систему), то відповідний варіант системи є найкращим.
4. Кожній Парето-оптимальній системі відповідає потенціально можливе значення кожного із показників якості , що може бути досягнуто за фіксованих, але довільних значень інших показників якості. Це властивість -кратного оптимуму. Сукупність таких оптимальних значень показників якості є багатовимірними потенціальними характеристиками системи (БПХ).
5. Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій
,
,(4)
..........................
для Парето-оптимальних оцінок монотонно спадає щодо кожного з аргументів. Ці залежності називаються багатовимірними діаграмами обміну (БДО) для Парето-оптимальних систем.
Порівняно з одновимірними потенціальними характеристиками системи БПХ та звязані з ними БДО характеризуються двома важливими властивостями. По-перше, вони дають найкраще (потенціальне можливе) значення не одного, а кожного з обраних показників якості. По-друге, вони вказують, яким чином слід змінити значення одних показників якості для поліпшення інших показників якості і за рахунок якої зміни структур