Экономико-математические методы и модели
Контрольная работа - Менеджмент
Другие контрольные работы по предмету Менеджмент
Экономико-математические методы и модели
Содержание
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Список использованной литературы
решение модель выпуск прибыль транспорт
Задача №1
Предприятие выпускает два вида продукции используя три вида ресурсов. Приняты обозначения:
А - матрица норм затрат сырья;
В - запасы ресурсов;
С - прибыль на единицу продукции
С помощью следующих данных составить математическую модель. Определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью графического метода.
Решение задачи.
Обозначим через х1 количество единиц продукции первого вида, а через x2 - количество единиц продукции второго. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:
1*x1+3*x2<=90
*x1+2*x2<=120
*x1+1*x2<=40
x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.
Конечную цель решаемой задачи - получение максимальной прибыли при реализации продукции - выразим как функцию двух переменных х1 и x2. Реализация х1 единиц продукции первого вида и x2 единиц продукции второго дает соответственно 5х1 и 2x2 ден. ед. прибыли, суммарная прибыль С = 5х1 + 2x2. Условиями не оговорена неделимость единицы продукции, поэтому х1 и x2 (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами. Требуется найти такие х1 и x2, при которых функция С достигает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции С = 5х1 + 2x2 при ограничениях.
Математическая модель задачи:
Сmax = 5х1 + 2x2
Система ограничений:
1*x1+3*x2<=90
*x1+2*x2<=120
*x1+1*x2<=40
x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.
Решение задачи с использованием графического симплекс-метода.
Построим систему координат и проведем прямые ограничивающие область допустимых решений (ОДР), построив их, соответственно, по неравенствам системы ограничений. Чтобы построить прямую нужно знать координаты двух точек. Координаты точек прямых соответствующих неравенствам:
Неравенствоx11x21x12x221*x1+3*x2<=909000304*x1+2*x2<=1203000601*x1+1*x2<=40400040Построим вектор целевой функции C(5;2). Система координат с областью допустимых решений OABCD и вектором целевой функции C приведена на рис.
Рис. График области допустимых решений.
Построим линию уровня 5x1+2x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору C (5;2). Будем передвигать ее в направлении вектора С, в результате чего находим точку, в которой функция принимает максимальное значение - точку D. При дальнейшем перемещении она уже не будет иметь общих точек с областью допустимых решений OABCD. Точка D имеет координаты (30;0). Сmax = 5*30+2*0=150
Ответ: Для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 150 ден. ед., необходимо запланировать производство 30 ед. продукции первого вида, а продукцию второго вида не выпускать совсем.
Задача №2
Используя данные предыдущей задачи, определить план выпуска изделий, обеспечивающих максимальную прибыль с помощью симплексного метода.
Решение задачи.
Математическая модель задачи:
Сmax = 5х1 + 2x2
Система ограничений:
1*x1+3*x2<=90
*x1+2*x2<=120
*x1+1*x2<=40
x1,x2 >=0; - условие неотрицательности переменных.
Решение задачи с использованием метода симплекс-таблиц.
Приведем математическую модель задачи к каноническому виду, избавившись от неравенств посредством ввода дополнительных переменных:
Целевая функция:
С max = 5*x1+2*x2+0*x3+0*x4+0*x5
Система ограничений:
1*x1+3*x2+x3=90
*x1+2*x2+x4=120
*x1+1*x2+x5=40
Проведем векторный анализ системы ограничений. Выберем единичные вектора, позволяющие получить систему координат и указать в ней координаты одной из вершин симплекса.- вектор свободных коэффициентов- вектор коэффициентов при переменной хi
Расширенная целевая функция:
С max = 5*x1+2*x2+0*x3+0*x4+0*x5
Вектора:
P0P1(x1)P2(x2)P3(x3)P4(x4)P5(x5)9013100120420104011001
Базисными могут быть только единичные вектора. Базис:
Базисный вектор №1: P3(x3)
Базисный вектор №2: P4(x4)
Базисный вектор №3: P5(x5)
Заполним первую таблицу:
№БазисКоэффициенты при базисеP052000P1P2P3P4P51P3090131002P40120420103P504011001С max =0-5-2000
При просмотре последней (индексной) строки среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов) находим наименьшее отрицательное число: -5 (первый столбец - ключевой).
Просматривая первый столбец таблицы (ключевой) выбираем среди положительных коэффициентов столбца тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна - 4. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка, в которой он находится ключевой;
Замещаемый базисный вектор: P4 (2-я строка)
Новый базисный вектор: P1 (1-й столбец)
Заменяем базисный вектор P4 на P1.
Строим новую таблицу, содержащую новые названия базисных переменных, для этого:
разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.
строка разрешающ