Шпаргалка по высшей математике
Вопросы - Математика и статистика
Другие вопросы по предмету Математика и статистика
-е плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos ) +y(Cos )+z(Cos )+=0, где Cos , Cos , Cos -направляющие Cos сы нормального вектора; -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0.
x3-x1 y3-y1 z3-z1
13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.
Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,
x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где q 1(L1;m1;n1), q2 (L2;m2;n2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:q1 q2 L1/L2=m1/m2=n1/n2. б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (q1q2).
L1L2+m1m2+n1n2=0. Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2.
2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости):
x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.
3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору q (l;m;n)):
x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n.
4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М0(x0;y0;z0), q (l;m;n). x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt, t-параметр.
5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве это, практически, угол между их направляющими векторами:
Cos=L1L2+m1m2+n1n2/ L12 +m12+n12 L22+m22+n22 .
15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.
1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: Cos=Al+Bm+CnA2+B2+C2 l2+m2+n2. Где l, m, n- координаты направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты n. В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. n(A,B,C)q (l;m;n) Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. n q=0 Al+Bm+Cn=0. 3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. n q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости: а)скалярное произведениеn q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенство Ax0+By0+Cz0+D=0
x=x0+lt,
y=y0+mt,
z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).
5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому: x=x0+lt,
y=y0+mt,
z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)
Ax+By+Cz+D=0.
16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел 0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) центр окружности, то исходя из этого определения :
Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ= R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ = (x-x0)2+(y-y0)2 = R R2=(x-x0)2+(y-y0)2 -ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2++Cy2 =-кривая второго порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2+В2+С20. x2+y2-2x0x-2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1A=C0 (т.к. A2+B2+C20, B=0). Получаем ур-е: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я на А0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем: (x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2-4AF)/4A2. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2+E2-4AF0. При выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её радиус R=D2+E2-4AF/2A.
17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел 0. Эллипс (кривая эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.
18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовы?/p>