Числовые характеристики выборки
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
1. Таблица значений выборки случайных величин
5,67,25,284,665,26,4854,25,27,64,266,46,655,66,85,44,46,856,665,675,47,24574,84,466,47,64,6456,85,44,27,85,847,65,26,67,45,86,24,86,456,85,65,84,67,44,886,24,286,27,8486,45,25,876,25,67,45,856,65,65,27,25,87,64,47,46,446,47,65,467,86,64,26,26,85,27,25,854,4674,684,685,46,865,26,684,66,4757,445,64,87,46,85,26,67,2584,465,86,874,25,844,65,27,45,66,46,8
Выборка в диапазоне от Xmin = 4 до Xmax = 8; n = 144.
2. Таблица значений выборки дискретных случайных величин в упорядоченном виде
4444444,24,24,24,24,24,24,44,44,44,44,44,64,64,64,64,64,64,64,84,84,84,855555555555,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,25,45,45,45,45,45,65,65,65,65,65,65,65,65,85,85,85,85,85,85,85,85,8666666666,26,26,26,26,26,46,46,46,46,46,46,46,46,46,66,66,66,66,66,66,66,86,86,86,86,86,86,86,86,87777777,27,27,27,27,27,47,47,47,47,47,47,47,67,67,67,67,67,67,87,87,888888888
X min = 4; X max = 8;= 144; R = 12;
Определяем шаг: ; ;
;
Определяем начальное значение X0: ; ;
Определяем конечное значение Xk: ; .
3. Таблица интервального статистического ряда относительных частот
3,8334,1674,1674,54,54,8334,8335,1675,1675,55,5 5,8335,8336,1676,1676,56,5 6,8336,8337,1677,1677,57,5 7,8337,8338,1676111110161781416612980,0420,0760,0760,0690,1110,1180,0560,0970,1110,0420,0830,0630,056
Проверка: ?ni = 144; 6 + 11 + 11 +10+ 16 + 17 + 8 + 14 + 16 + 6 + 12 + 9 + 8 = 144
?Wi = 1; 0,042 + 0,076 + 0,076 + 0,069 + 0,111 + 0,118 + 0,056 + 0,097 + 0,111 + 0,042 + 0,083 + 0,063 + 0,056 =1
Математическое ожидание дискретной случайной величины - это сумма произведений всех возможных значений действительных случайных величин на их вероятности.
Математическое ожидание случайной дискретной величины Х есть неслучайная величина, некоторая постоянная, в которой сходится ряд .
Математическое ожидание числа появления события в одном испытании, равно вероятности этого события.
Математическое ожидание случайной величины приблизительно, тем точнее, чем больше число испытаний, и равно среднему арифметическому наблюдаемой величины.
Математическое ожидание случайной величины больше ее наименьшего и меньше наибольшего значений, т.е. на числовой оси значений случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания. Иначе математическое ожидание называют центром распределения.
Свойства математического ожидания.
Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
Математическое ожидание произведения случайной величины равно произведению математических ожиданий этих величин.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий.
Определяем математическое ожидание:
М (х) = 4*0,042 + 4,333*0,076 + 4,667*0,076 + 5*0,069 + 5,333*0,111 + 5,667*0,118 + 6*0,056 + 6,333*0,097 + 6,667*0,111 + 7*0,042 + 7,333*0,083 + 7,667*0,063 +8*0,056 = 0,168 + 0,329 + 0,355 + 0,345 + 0,592 + 0,669 + 0,336 + 0,614 + 0,74 + 0,294 + 0,609 + 0,483 + 0,448 = 5,982
М (х) =5,982
Дисперсией D(X) случайной величины Х характеризует степень разброса значений этой величины около ее математического ожидания.
Дисперсией или рассеянием дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
Дисперсия суммы случайной величины равна сумме дисперсий, но если одна из величин const, то
Дисперсия разности случайных величин равна сумме дисперсий.
Определяем выборочную дисперсию:
(X) = (4,0 - 5,982)2*0,042 + (4,333 - 5,982)2*0,076 + (4,667 - 5,982)2*0,076 + (5 - 5,982)2*0,069 + (5,333 - 5,982)2*0,111 + (5,667 - 5,982)2*0,118 + (6 - 5,982)2*0,056 + (6,333 - 5,982)2*0,097 + (6,667 - 5,982)2*0,111 + (7 - 5,982)2*0,042 + (7,333 - 5,982)2*0,083 + (7,667 - 5,982)2*0,063 + (8 - 5,982)2*0,056 = 0,165 + 0,207 + 0,131 + 0,067 + 0,047 + 0,012 + 0 + 0,012 + 0,052 + 0,044 + 0,151 + 0,179 + 0,228 = 1,295(X) = 1,295
Определяем дисперсию:
М(Х2 ) = 16,00*0,042 + 18,77*0,076 + 21,78*0,076 + 25,00*0,069 + 28,44*0,111 + 32,11*0,118 + 36,00*0,056 + 40,11*0,097 + 44,45*0,111 + 49,00*0,042 + 53,77*0,083 + 58,78*0,063 + 64,00*0,056 = 0,672 + 1,427 + 1,655 + 1,725 + 3,157 + 3,789 + 2,016 + 3,891 + 4,934 + 2,058 + 4,463 + 3,703 + 3,585 = 37,075
М (Х2 ) = 37,075(X) = (5,982)2 = 35,78(X) = 37,075 - 35,78 = 1,295(X) = 1,295
Среднее квадратичное отклонение
Средним квадратичным отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии.
Определяем среднеквадратичное отклонение:
? =
? = 1,138
4. Задание эмпирической функции распределений и построение ее графика
44,3334,66755,3335,66766,3336,66777,3337,66780,0420,0760,0760,0690,1110,1180,0560,0970,1110,0420,0830,0630,056
5. Полигон и распределение случайной величины
выборка случайная величина ряд
Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (Xi;Wi)
Полигоном относительных частот называют ломанную, которая соединяет значение случайных величин и соответствующие им значения относительных частот. (Хi ;Wi )
Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты Хi случайной величины, на оси ординат соответствующие им частоты. Соединяют соответствующие линии и получают полигон.
44,3334,66755,3335,66766,3336,66777,3337,66780,0420,0760,0760,0690,1110,1180,0560,0970,1110,0420,0830,0630,056
6. Гистограмма
Гистограммой называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной l, а высота равна отношению частоты Wi к l - плотности частоты. Wi/l.
Площадь i-того частичного интервала S равна сумме частот i-того интервала S = ?ni , т.е. площадь всей гистограммы частот равна объему выборки.
№ интервалаЧастичный интервал Xi=Xi+1Сумма частот niПлотность частот ni/l13,8334,16761824,1674,5113334,54,833113344,8335,167103055,1675,5164865