Числовi характеристики системи випадкових величин та iх граничнi теореми
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Числовi характеристики системи випадкових величин та iх граничнi теореми
1. Кореляцiйний момент, коефiцiСФнт кореляцii
Кореляцiйним моментом (коварiацiСФю) випадкових величин i називаСФться математичне сподiвання добутку вiдповiдних ним центрованих величин:
. (1)
Властивостi коварiацii:
1. 2. 3.
Першi двi з них очевиднi, остання доводиться також легко:
КоефiцiСФнтом кореляцii називаСФться кореляцiйний момент нормованоi випадковоi величини:
Теорема. Для будь-яких випадкових величин , коефiцiСФнт кореляцii причому знак рiвностi можливий тодi i тiльки тодi, коли i з iмовiрнiстю 1 повязанi лiнiйно.
Доведення. Обчислимо дисперсiю лiнiйноi комбiнацii випадкових величин i з довiльним коефiцiСФнтом та врахуСФмо, що з властивостей дисперсii вона СФ невiдСФмною.
При цьому отримаСФмо невiдСФмну квадратичну форму вiдносно змiнноi з невiдСФмним коефiцiСФнтом при .
Це можливо лише за умови, що ii дискримiнант . З урахуванням визначення (1) цю нерiвнiсть можна переписати у виглядi:
або
або мовою середнiх квадратичних вiдхилень випадкових величин
.
Тобто
Доведемо тепер другу частину теореми: тодi i тiльки тодi, коли i з iмовiрнiстю 1 повязанi лiнiйно.
Необхiднiсть:
Достатнiсть:
, , ,
, .
Випадковi величини , називаються некорельованими, якщо iх коварiацiя дорiвнюСФ нулю. Якщо випадковi величини , незалежнi, то вони некорельованi.
.
Зворотне твердження, взагалi кажучи, не маСФ мiiя.
Наприклад,
.
.
Для опису звязкiв, що iснують мiж проекцiями випадкового вектора (,), крiм коварiацii можна використовувати числовi характеристики умовних законiв розподiлу , .
Умовним середнiм значенням i умовною дисперсiСФю випадковоi величини за умови =y називаються величини:
,
.
Аналогiчно визначаються характеристики i .
Для опису випадкового вектора також вводять початковi i центральнi моменти:
, .
2. Комплексна випадкова величина, характеристичнi функцii
Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , СФ iншим способом опису випадкового вектора (,).
Випадковi величини i називаються незалежними, якщо незалежними СФ випадковi вектори (,) i (,).
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Характеристичною функцiСФю випадковоi величини називаСФться середнСФ значення виразу .
.
Функцiю називають також характеристичною функцiСФю вiдповiдного закону розподiлу:
(2)
Як видно з (2), характеристична функцiя СФ перетворенням ФурСФ вiдповiдноi iй щiльностi iмовiрностi:
Властивiсть 1. При додаваннi незалежних випадкових величин iхнi характеристичнi функцii перемножуються.
Властивiсть 2. Розкладання характеристичноi функцii в ряд за ступенями дозволяСФ знайти всi моменти , , ,тАжвипадковоi величини .
3. Види збiжностi випадкових величин
Послiдовнiсть випадкових величин 1, 2тАжназиваСФться такою, що збiгаСФться з випадковою величиною в розумiннi середнього квадратичного, якщо границя математичного сподiвання квадрата абсолютного значення вiдхилення вiд прямуСФ до нуля за умови, що , тобто
.
Величина називаСФться ще СК границею послiдовностi {n}.
чи .
Оскiльки
,
СК збiжнiсть рiвносильна виконанню умов:
.
Послiдовнiсть випадкових величин збiгаСФться з випадковою величиною при за iмовiрнiстю, якщо для кожного будь-якого >0
,
.
Збiжнiсть послiдовностi до випадковоi величини за ймовiрнiстю символiчно позначаСФться таким чином:
.
Для будь-якоi випадковоi величини при будь-якому >0
.
.
Наслiдок.
Зi збiжностi у СК випливаСФ збiжнiсть за ймовiрнiстю.
4. Граничнi теореми теорii ймовiрностей
Нерiвнiсть Чебишева.
.
(3)
Як випливаСФ з нерiвностей (3) зi зменшенням дисперсii , основна частина площi пiд кривоi f(x) виявляСФться зосередженою в околi точки .
Рисунок 1
Внаслiдок своСФi загальностi нерiвнiсть Чебишева даСФ дуже грубу оцiнку ймовiрностi, що входить до неi.
Наприклад, .
, якщо .
Вважають, що послiдовнiсть функцiй розподiлу , , ,...., ,... збiгаСФться до функцii розподiлу , якщо
в усiх точках неперервностi.
Якщо , то .
Практичне використання теорii ймовiрностей засновано на такому принципi: випадкову подiю, ймовiрнiсть якоi досить близька до 1, можна вважати достовiрною та неможливою при дуже малiй ймовiрностi.
Теореми, що забезпечують виконання такоi схеми обробки даних, називаються законами великих чисел.
Теорема Чебишева
Нехай 1, 2тАжпослiдовнiсть попарно незалежних випадкових величин, дисперсii яких обмеженi
, k=1,2 тАж
Тодi при будь-якому 0
.
Теорема Бернуллi.
Нехай n число появ деякоi подii А в серii з n незалежних iспитiв, р ймовiрнiсть появи А ?/p>