Числовая ось. Числовые промежутки. Положение точки
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ПЕРВЫЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
ЭКЗАМЕННАЦИОННЫЙ РЕФЕРАТ
по математике на тему:
Числовая ось. Числовые промежутки. Положение точки
СОДЕРЖАНИЕ
1. Числовая ось
. Числовые промежутки
. Положение точки
.1 Положение точки на прямой
.2 Положение точки на плоскости
.3 Положение точки в пространстве
4. Расстояние между двумя точками
Литература
Дополнительные источники
1. Числовая ось.
Числовая ось, или числовая прямая - это прямая, на которой выбраны:
некоторая точка O - начало отiёта;
положительное направление, указанное стрелкой;
масштаб для измерения длин.
Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат - в положительном направлении со знаком плюс, иначе - со знаком минус. Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой - отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.
Числовая прямая часто используется как наглядный образ множества вещественных чисел (например, для построения графиков). Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.
Множество вещественных чисел , дополненное элементами и , называется расширенной числовой прямой и обозначается , то есть
2. Числовые промежутки
Числовой промежуток (или промежуток числовой прямой_ - множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. Это определение можно записать так: - промежуток, если
В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:
Типы промежутков:
?. Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами a и b - концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет.
) Отрезок (или замкнутый интервал - англ. closed interval):
,
т.е. промежуток , обозначается [a,b]:
В случае a = b отрезок состоит из одной точки.
) Интервал (или открытый интервал - англ. open interval):
, т.е. , обозначается (a,b):
3) Полуинтервал (или полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал - англ. half-open interval/half-closed interval):
Длиной конечных промежутка во всех случаях называется число b ? a.
??. Бесконечные промежутки
не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом (лучи, полупрямые), либо с обеих сторон (числовая прямая). В этом случае удобно iитать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа , полагая, что для любого вещественного числа справедливы неравенства . Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно
???. Пустое множество также является промежутком.
3. Положение точки
Положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве определяется ее координатами. Совокупность координат всех точек пространства является системой координат.
Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
.1 Положение точки на прямой
Положение точки на прямой определяется всего одной координатой - координатой по оси x. Эту координату показывает число, определяющее эту координату.
.2 Положение точки на плоскости
Положение точки на прямой определяется всего двумя координатами - по оси x и по оси у. Для этого используется прямоугольная (Декартова) система координат на плоскости.
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O (начало координат), на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами.
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абiиссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: .
Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абiиссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абiиссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абiиссу и ординат?/p>