Численные методы решения систем линейных уравнений
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
е-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):
х1(0), х2(0), х3(0), х4(0).
Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:
Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:
Условия сходимости итерационного процесса.
Установим условия, выполнение которых обеспечит сходимость получающихся приближений к истинному (точному) решению системы х1, х2, х3, х4.
Не вдаваясь в подробности, скажем, что для того чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.
Это условие можно сформулировать и более точно:
Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:
Итерация Якоби.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Уравнения можно записать в виде:
Это позволяет предложить следующий итерационный процесс:
или (другой вид записи)
Покажем, что если начать с точки P0 = (х1(0), х2(0), х3(0), х4(0)) = (1, 2, 2), то итерация (3) сходится к решению (2, 4, 3). Подставим х1 = 1, х2 = 2, х2 = 2 в правую часть каждого уравнения из (3), чтобы получить новые значения:
Новая точка P1 = (х1(1), х2(1), х3(1), х4(1)) = (1.75, 3.375, 3), ближе, чем P0.
Итерация, использующая (3), генерирует последовательность точек {Pk}, которая сходится к решению (2, 4, 3):
kх1(k) х2(k)х3(k)01.02.02.011.753.3753.021.843753.8753.02531.96253.9252.962541.9906253.97656253.051.994140633.99531253.0009375…………151.999999933.999999853.0009375…………192.04.03.0Этот процесс называется итерацией Якоби и может использоваться для решения определенных типов линейных систем.
Итерация Гаусса-Зейделя.
Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости.
Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности {х1(k)}, {х2(k)}, {х3(k)}, {х4(k)}. Кажется разумным, что х1(k+1) может быть использовано вместо х2(k). Аналогично х1(k+1) и х2(k+1) можно использовать в вычислении х3(k+1). Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*):
Такой итерационный процесс даст результаты:
kх1(k)х2(k)х3(k)01.02.02.011.753.752.9521.953.968752.9862531.9956253.996093752.99903125…………81.999999833.999999882.9999999691.999999983.999999993.0102.04.03.0Т. е. к точному решению мы пришли уже на 10-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби.
Вывод.
- Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Для этого система приводится к виду (для случая системы из четырех уравнений):
Эти формулы как раз и задают собственно итерационный процесс.
- При этом чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.
Это условие можно сформулировать и более точно:
Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:
- Следует так же сказать, что итерационный процесс может проводиться как в виде итерации Якоби, так и в виде итерации Гаусса-Зейделя. В последнем случае сходимость итерационного процесса может существенно улучшиться.
- Практическая часть.
1) Метод обратной матрицы.
Метод обратной матрицыx1x2x3x412-4062A=-42153B=4-32-221-2-2-352340,0830,013-0,002-0,023A-1=0,0160,0480,009-0,011-0,0090,003-0,0440,0040,0110,0070,0100,039x=0,1290,1650,0970,186
2) Метод Крамера.
Метод Крамераx1x2x3x412-4062A=-42153B=4-32-221-2-2-35234A=-1340882-406A1=42153-22-2214-3523A1=-17296x1=0,12912206A2=-4453-3-2-221-24523A2=-22188x2=0,16512-426A3=-42143-32-21-2-3423A3=-12980x3=0,09712-402A4=-42154-32-22-2-2-354A4=-24896x4=0,186x=0,1290,1650,0970,186
3) Метод Гаусса.
Метод Гауссаx1x2x3x412-4062A=-42153B=4-32-221-2-2-35234A=-1340881,000-0,3330,0000,5000,167-4,00021,0005,0003,0004,000-3,0002,000-22,0001,000-2,000-2,000-3,0005,00023,0004,0001,000-0,3330,0000,5000,1670,00025,3335,0005,0004,6670,0001,000-22,0002,500-1,5000,000-3,6675,00024,0004,3331,000-0,3330,0000,5000,1670,0001,0000,1970,1970,1840,0000,000-22,1972,303-1,6840,0000,0005,72424,7245,0091,000-0,3330,0000,5000,1670,0001,0000,1970,1970,1840,0000,0001,000-0,1040,0760,0000,0000,00025,3174,574x=0,1200,1300,0950,181
4) Листинг программы (Метод Крамера, Метод Гаусса, Метод обратной матрицы).
Begin VB.Form frmAriel
BorderStyle = 1 Единственный Фиксированный
Caption = "Решение систем линейных уравнений"
ClientHeight = 6315
ClientLeft = 4365
ClientTop = 2430
ClientWidth = 7815
BeginProperty Font
Name = "MS Sans Serif"
Size = 12
Charset = 204
Weight = 700
Underline = 0 False
Italic = -1 True
Strikethrough = 0 False
EndProperty
LinkTopic = "Форма1"
MaxButton = 0 False
MinButton = 0 False
ScaleHeight = 6315
ScaleWidth = 7815
Begin VB.TextBox txtMOMZ
Alignment = 2 Выравнивание по Центру
BeginProperty Font
Name = "Times New Roman"
Size = 15.75
Charset = 204
Weight = 400
Underline = 0 False
Italic = 0 False
Strikethrough = 0 False
EndProperty
Height = 375
Left = 3960
TabIndex = 45
Top = 5520
Width = 9