Численные методы анализа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
а. Для этого выберем шаг x =h и введем стандартные обозначения:
Допустим, чтo известны значения
(i). Тогда можно вычислить разности ?y"i-1,2yi-2,3yi-3
Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона, с точностью до разностей четвертого порядка будем иметь
(2.5.4)
(2.5.5)
Так как в силу формулы (2.5.5) dx = h dq то, очевидно, имеем
(2.5.6)
(2.5.7)
Интегрируя последовательно на отрезке [0, q] два раза по q формулу (2.5.4), на основании формул (2.5.6) и (2.5.7) получим
Отсюда, полагая q= 1 в формулах (2.5.6) и (2.5.7), находим
(2.5.8)
(2.5.9)
где положено Mожно принять
(2.5.10)
Более точный вариант iета следующий [14]: найдя yi+1, по формулам (2.5.8) и (2.5.10) вычисляют i,2yi-1, 3yi-2 ,после чего определяют yi.
Затем, приняв
(2.5.11)
из дифференциального уравнения можно найти
(2.5.12)
В случае необходимости повторяют аналогичный переiет величин уi+1 и уi+1 до тех пор, пока не прекратятся изменения. Рекомендуется шаг h выбирать столь малым, чтобы формулы (2.5.10) и (2.5.11) давали одинаковые результаты в пределах заданной точности. Что касается начального отрезка y0,y1,y2,y3; y0,y1,y2,y3 то он предварительно определяется каким-нибудь подходящим методом. В частности, для дифференциального уравнения вида
"=f (x,y)
имеется весьма точный метод Б. В. Нумерова.
Пример 1. На отрезке [0, 1] найти интеграл у = у (х) уравнения
"+ y ch x+0 (2.5.13)
удовлетворяющий начальным условиям
(0)=0, y(0)=1 (2.5.14)
Решение. Примем шаг h=0,2. Для подiета начального отрезка применим метод степенных рядов. Имеем
"= - y ch x
Следовательно, в силу начальных условий (2.5.14) получаем:
(2.5.15)
Полагая xi=0,2 i ( i= -1, 0, 1, 2), из формул (2.5.15) с точностью до 10-3 находим:
Дальнейшие вычисления производим по формулам (2.5.8), (2.5.9), (2.5.10) без переiета. Результаты вычислений приведены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1 Основной бланк для решения задачи Коши
ixy?yy?ych xy"?2y"?3y"-1 0 1 2 3 4 5-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,199 0 0,199 0,389 0,563 0,710 0,819 0,174 0,147 0,1090,980 1 0,980 0,918 0,810 0,649 -0,108 -0,1611,020 1 1,020 1,081 1,185 1,3370,203 0 -0,203 -0,421 -0,667 -0,949-203 -203 -218 -246 -2820 -15 -28 -36-15 -13 -8
Таблица 2 Вспомогательный бланк для решения задачи Коши
i234-0,421 -0,109 -0,006 -0,006-0,667 -0,123 -0,012 -0,0051 yi=h?1-0,542 -0,108-0,807 -,0161-0,210 36 2 2-0,334 -0,041 -0,004 -0,001-0,474 -0,047 -0,004 -0,001?2-0,250-0,380-0,526h2?2 hyi-0,010 +0,184-0,015 +0,162-0,021 +0,130yi0,1740,1470,109
Список литературы
) Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. М.П.Лап-чика. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
)
)
) Б.П Демидович, И.А Марон, Э.З. Шувалова; "Численные методы анализа"