Численные методы анализа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Однако чаще встречается ситуация, когда случайная и приборная погрешности близки по значению, а поэтому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно и за суммарную погрешность принимают
. (1)
Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68 , а 0 - оценка максимальной погрешности прибора, то можно iитать, что выражение (1) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит ??x = 0/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.
Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (??x)случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:
(xmax- xmin)20,
где xmin, xmax - наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет 0/3 .
4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
дифференцирование алгебраический полином интерполяционный
Итак, применяя для численного дифференцирования на отрезке [а; Ь] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов а = х0 < x1 < х2 < ... < xn-1 < хn = b, которыми отрезок делится на n равных частей: хi+1 - xi= h = const (i = 0, 1, 2,тАж.,n-1); шаг интерполирования при этом имеет значение h = (b - а) / n. В этом случае многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Примем подстановку:
Пn+1(x) и П n+1(xi)
Используя (1), последовательно находим:
- x0 =ht- x1 = x - x0- h = h(t - 1) - x2 = x - x0 - 2h= h(t-2)
т. е. в общем случае:
- xi =x- x0- ih= h(t- i), i=0, 1, тАж,n (3)
Используя (3) получаем:
Пn+1(x)=hn+1t(t- 1)(t- 2)тАж.(t- n).
В целях сокращения записей введем обозначение
t(t- 1)(t- 2)тАж.(t- n)=t[n+1]
тогда выражение Пn+1(x)принимает вид
Пn+1(x)=hn+1,[n+1] (4)
Учитывая, что при постоянном шаге имеет место xi= x0 +ih, i = 0, 1, тАжn, последовательно находим:
i- x0=hi, xi- x1 =xi- x0- h =h(i- 1),i- x2 =xi- x0- h =2h(i- 2),тАж,xi- xn= xi- xo-nh = h(i- n). (5)
Заметим, что в (5) равно n строк (i-я строка отсутствует), причем значения первых i строк положительны, а остальных - отрицательны. Используя (5), получаем
П?n+1 (xi) = (xi-x0)тАж.(x1-xi-1)(xi-xi+1)тАж(xi-xn)=hni(i-1)тАж .l (-1)тАж[-(n-i)],
П?n+1(xi)=hni l(n-i)(-1)n-i (6)
С учетом представлений (4) и (6) формула Лагранжа (2) для равноотстоящих узлов принимает вид
(7)
Пример 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (n = 2, h = 1):
x-101f(x)4-26
Используя формулу (7), запишем:
=2(t- 1)(t- 2)+ 2t(t- 2)+ 3t(t- 1)= 7t2- 3+ 4.
Узловые табличные значения функции (4; -2; 6) получаются по этой формуле соответственно при t = 0; 1; 2.
Будем дифференцировать многочлен Лагранжа (7) по х как функцию от t:
Учитывая, что согласно (1) х = х0 + th, а также dx/dt = h, получим окончательно
(8)
Пользуясь формулой (8), можно вычислять приближенные значения производной функции f(x), если она задана на отрезке [a;b] значениями в равноотстоящих узлах а = х0 < x1 < х2 < ... < xn-1 <хn = b (при этом параметр t пробегает значения от 1 до n).
Аналогично могут быть найдены производные функции f(x) более высоких порядков.
Пример 2. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей
x345f(х)2-16
в точке х = 4.
Применяя формулу (8), получим (здесь n= 2, h= 1)
Учитывая, что узел x = 4 соответствует значению t = 1 (т. е. t = x-x0/h), получаем f(4)~2
Если известно аналитическое выражение функции f(х), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования
(9)
где ?=?(x) - значение из отрезка [a;b], отличное от узлов и х.
Учитывая (9) и допуская, что f(x) дифференцируема n+ 1 раз, запишем
(10)
Формула (10) значительно упрощается, если оценка находится для значения производной f(x) в узле хi таблицы. В этом случае, учитывая (6), получаем
(11)
где ?- промежуточное значение между x0, x1, x2,тАжxn.
Обозначив Мn + 1 = |f (n+1)(x)|, получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:
5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка
Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка
(n)=f(x,y,y,тАж,y(n-1)) (2.5.1)
при начальных условия у(k) (х0) =y(k)0 (k = 0, 1, 2, тАж,n- 1) , сводится к задаче Коши для системы
(2.5.2)
где yk (x0) = у(k)0 (k =0, 1, 2, n - 1; у0 = у).
Поэтому изложенные методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений применимы также к уравнению (2.5.1).
Однако общие схемы для приближенного решения дифференциальных систем, не учитывающие специфических особенностей системы (2.5.2), оказываются излишне сложными. Поэтому целесообразно вывести формулы, специально приспособленные для численного интегрирования дифференциального уравнения вида (2.5.1). Мы ограничимся рассмотрением дифференциального уравнения второго порядка
"=f(x,y,y) (2.5.3)
при начальных условиях у(х0)=у0, у(х0)=у0.
Выведем формулы для приближенного вычисления интеграла у = у (х) дифференциального уравнения (2.5.3) с помощью метода Адамс