Численное решение задачи Коши
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
явного и неявного методов Эйлера при решении жесткой задачи.
УКАЗАНИЕ. В п. 4 для решения системы линейных уравнений удобно использовать встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD.
.2Исходные данные
NAB6.2-17.359 -0.573 5.366 -21.3512 1-64.712 -85.344 -128.964 -170.9181 0
3.3Решение поставленной задачи.
Начальные условия:
Концы отрезка:
Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера.
Описанная программа-функция возвращает таблицу решений, первый столбец которой - это значения аргумента в узлах равномерной сетки, а остальные столбцы - соответствующие значения компонент приближенного решения.
Шаг:
Зададим векторы правых частей систем уравнений:
Графики решений для первой системы:
Графики решений для второй системы:
Определим, для какой из задач явный метод неустойчив при шаге h = 0.01. Найдем собственные числа матриц.
Максимальные и минимальные собственные числа матриц А и В:
Условие устойчивости выполняется для матрицы А (usА > h), но не выполняется для матрицы В (usВ < h). Следовательно, явный метод Эйлера неустойчив для решения системы, описанной матрицей В.
Определим, какая из систем является жесткой:
Число жесткости системы gA мало (т. е. собственные числа матрицы А незначительно отличаются друг от друга), поэтому система не жесткая.
Число жесткости системы gB велико (т. е. собственные числа матрицы В значительно отличаются друг от друга), поэтому система жесткая.
Определим, при каком шаге явный метод Эйлера будет устойчив при решении жесткой системы:
задача коши погрешность дифференциальный
Графики решений для первой и второй компоненты системы B:
Как видно из графиков решений, явный метод Эйлера устойчив с шагом hz = 0.0028 . Условие устойчивости usB>hz (8.496*10-3 >0.0028) выполняется.
Найдем решение жесткой задачи по неявному методу Эйлера.
Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера.
В качестве параметров она принимает матрицу М системы, вектор начальных условий Vo начало to , конец отрезка интегрирования T и число узлов равномерной сетки N:
Для оценки результатов решения будем использовать встроенную функцию для решения жёстких систем stiffr. Для её применения необходима матрица Якоби:
Графики решений для первой и второй компоненты системы:
Найдем такое значение шага H для решения жесткой системы по явному методу Эйлера, что результаты решения будут визуально совпадать с решением, полученным неявным методом Эйлера с шагом h = 0.01:
Вывод: явный метод Эйлера 1-го порядка точности дает приближённое решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами. При решении жестких систем ОДУ, метод может быть неустойчив при достаточно большом шаге вычислений. При уменьшении шага вычислений метод будет устойчив, но это требует дополнительных (на некотором промежутке лишних) вычислений. Устойчивое решение, получаемое при решении жёсткой системы уравнений неявным методом, требует в несколько десятков раз меньше итераций, чем решение, полученное по явному методу Эйлера.
Заключение
В результате выполнения данной курсовой работы было реализовано решение задачи Коши с использованием пакета MATHCAD.
При решении различных уравнений были изучены встроенные функции пакета MATHCAD, а так же запрограммированы пользовательские функции, позволяющие реализовать иные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а также обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
В ходе работы были определены погрешности решений используемых методов, найдены способы увеличения точности получаемых результатов.
Так же были построены графики, демонстрирующие последовательные приближения к искомым решениям.
Таким образом, задание выполнено в полном объеме.
Список литературы
1)Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.
)Сайт
)Сайт
4) Ю. Ю. Тарасевич. Численные методы на Mathcadе. Астрахань, 2000.