Численное решение задачи Коши
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
емени, в которые эти значения достигаются. Предложить свой вариант задания параметров, при которых характер колебаний груза существенно отличается от рассмотренного ранее.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
. Заменить исходную задачу эквивалентной задачей Коши для системы ОДУ 1 порядка:
(2)
. Для каждого варианта выбора параметров решить задачу (2) с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка точности с шагом h=0.1.
. Для каждого варианта выбора параметров построить график найденного решения. Сравнить характер движения груза и дать интерпретацию полученного движения.
. Для каждого варианта выбора параметров определить требуемые в задаче характеристики.
УКАЗАНИЕ. В п. 2 использовать встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).
2.2Исходные данные
NHkmf(t)x0v0T2.2 I II III1 1 11 1 10.5 0.5 0.5tsin(t) 0 tsin(t)0 0 00 -10 -5020 20 20
2.3Решение поставленной задачи
набор.
Исходные данные:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:
График решения:
Найдем максимальное и минимальное значения функции x(t):
Минимальное значение достигается в момент времени 18.4.
Максимальное значение достигается в момент времени 15.3.
Из графика видно, что при данном наборе значений груз совершает незатухающие колебания.
2 набор.
Исходные данные:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:
График решения:
Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.
Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.
При данном наборе значений происходит затухание колебаний - груз останавливается.
3 набор.
Исходные данные:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:
График решения:
Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.
Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.
При данном наборе значений, как и в первом случае, груз совершает незатухающие колебания.
Свой вариант задания параметров:
Исходные данные:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:
График решения:
Минимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.5.
Максимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.1.
Набор параметров подобран таким образом, что затухающие колебания происходят подобно математическому маятнику - сопротивление среды останавливает со временем движение груза, происходящее по гармоническому закону.
Вывод: дифференциальные уравнения второго порядка - часто используемый способ описания движения. Численное решение этих дифференциальных уравнений порой единственный способ нахождения закона движения.
3.Задача № 3 (6.2)
3.1Постановка задачи
Даны две задачи Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами на отрезке
[0, 1]
,
,
где A и B - заданные матрицы, - заданные векторы. Выяснить, какая из задач является жесткой.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера. Используя составленную программу, решить обе задачи с шагом h=0.01. Определить, для какой из задач явный метод неустойчив при данном шаге h.
. Используя встроенную функцию eigenvals(M) (M - матрица) пакета MATHCAD для нахождения собственных чисел матриц A и B, найти коэффициенты жесткости обеих систем. Какая из задач является жесткой?
. Для жесткой задачи теоретически оценить шаг h*, при котором явный метод Эйлера будет устойчив (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).
. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера. Используя составленную программу, найти решение жесткой задачи с шагом h=0.01. Построить графики компонент полученного решения.
. Для жесткой задачи экспериментально подобрать шаг h, при котором графики компонент решения, полученного по явному методу Эйлера, визуально совпадают с графиками компонент решения, полученного по неявному методу с шагом h=0.01. Сравнить найденное значение шага
с шагом h*. Объяснить различие поведения