Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Нижегородский государственный технический университет им Р.Е. Алексеева
Курсовая работа по информатике
"Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи"
Выполнил: Воронкин И.С.
группы 11-Э-3
Проверила: Кулагина Л.В.
г. Нижний Новгород - 2012 г.
Содержание
1. Постановка задачи
2. Вывод системы дифференциальных уравнений
3. Теоретическая часть
4. Численное интегрирование
4.1 Метод левых прямоугольников
4.2 Метод средних прямоугольников
4.3 Формула средних прямоугольников
4.4 Метод правых прямоугольников
4.5 Формула правых прямоугольников
4.6 Метод Симпсона
4.7 Метод трапеций
5. Постановка задачи Коши
6. Разностные схемы Эйлера
7. Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Эйлера-Коши)
8. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
9. Практическая часть
Выводы
Список литературы
1. Постановка задачи
Дана схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ (рис.1).
Рис.1.
Параметры элементов цепи:
- гармонический источник тока; = 15 В - амплитуда колебаний; - циклическая частота; f, Гц - линейная частота; - фаза; t - текущее время; = 30 Ом, = 25 Ом, = 50 Ом, = 1,88 Ом, = 15 Ом, = 50 Ом - резисторы; L = 5,57 мГн - катушка индуктивности; C = 20 мкФ - конденсатор. Параметры f, для данного варианта принимают следующие значения: f = 40 Гц;. =4п/5
В начальный момент времени ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток в катушке равны нулю (U = 0, I = 0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.
В момент времени ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент .
2. Вывод системы дифференциальных уравнений
В соответствии с рисунком запишем выражения для I и II законов Кирхгофа для положения ключа 1:
(1)
Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I1 и I2. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:
(2)
Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:
(3)
В интервале решается система (3) с начальными условиями:
; В интервале решается система (2). В качестве начальных условий для системы (2) , следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).
3. Теоретическая часть
1. Аппроксимация - это задача, в результате решения которой находят некоторую аппроксимирующую функцию f (х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Чаще всего функцию f (х) представляют в виде полинома по степеням х. Общий вид полинома n-ой степени: f (x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn.
2. Метод наименьших квадратов. Пусть общее количество точек равно m. Неизвестные коэффициенты а0, а1,…an, n находим из условия минимизации суммы квадратов отклонений искомой функции от исходных точек. Опуская промежуточные преобразования получим систему уравнений: Z?A=B, где Z - квадратная матрица размерностью (n+1) x (n+1), составленная из известных координат точек, А - вектор неизвестных коэффициентов; В - вектор-столбец свободных членов (i=1,m).
; ; (1)
. Интерполяция - является частным случаем аппроксимации. Это задача о нахождении такой аналитической функции f (х), которая принимает в точках (узлах) xi заданные значения yi
4. Метод неопределенных коэффициентов
Пусть табличная функция содержит m точек. В этом случае можно построить различные виды кусочной интерполяции (кусочно-линейная, кусочно-параболическая и т.д.). В случае непрерывной интерполяции, когда используются все точки одновременно, функцию f (х) будем искать в виде полинома степени n: f (x) =a0+a1x+a2x2+…anxn. Степень полинома всегда на единицу меньше числа точек. Следовательно, справедливо соотношение: n=m-1.
Для нахождения неизвестных коэффициентов необходимо построить систему линейных уравнений m-го порядка из условия прохождения полинома через все m точек:
Данную систему можно решить методом Гаусса, Зейделя, Простой интерации, а также использованием специальных утилит.
; ; (2)
4. Численное интегрирование
4.1 Метод левых прямоугольников
Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2 h,., xn-1=a+ (n-1) h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y0, y1,y2,., yn. Cталобыть, y0=f (a), y1=f (x1),y2=f (x2),., yn=f (b). Числа y0, y1,y2,., yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1,x2,., xn. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.
Формула левых прямоугольников: