Цепи Маркова в теории вероятности и их приложения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
вом шаге:
,
при всех n=1, 2, ... и любом начальном распределении вероятностей.
Рассмотрим случай произвольного т. Обозначим , вероятность перехода из состояния в состояние . Как было показано,
где перестановка получается из выбором некоторого и перестановкой его на первое место.
Финальные вероятности являются решением следующей системы линейных уравнений:
Через достаточно большое число шагов практически устанавливается стационарное распределение вероятностей, т. е. стопка книг будет с неизменными вероятностями занимать соответствующие положения .Естественно спросить, с какой вероятностью каждая из имеющихся книг оказывается лежащей сверху?
Вероятность того, что сверху лежит книга с номером i, есть, очевидно,
,
где берется сумма по всем состояниям, в которых на первом месте стоит i.
Из уравнений для финальных вероятностей получаем, что
, i=1, …, m.
т. е. финальная вероятность находиться сверху книге с номером i равна той вероятности pi с которой эта книга выбирается. Таким образом, чем чаще берется та или иная книга, тем с большей вероятностью она будет находиться сверху.
Заключение
Тема курсовой работы " Цепи Маркова в теории вероятности и их приложения". В курсовой работе были рассмотрены вопросы:
.Основные понятия теории марковских цепей.
. Возвратные и невозвратные состояния.
. Теорема о возвратном состоянии.
. Достижимые возвратные состояния.
. Примеры решения задач.
Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях.
Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений
Список использованной литературы
1. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения . М.: МЦНМО, 2009. - 295 с.: ил.
. Марков А. А., Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. - Известия физико-математического общества при Казанском университете. - 2-я серия. - Том 15. (1906) - С. 135-156.
. Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains. - The University Series in Undergraduate Mathematics. - Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. - М.: Наука. 1970. - 272 с.)
. Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова. Перев. с англ. - М.: Мир, 1964. - 425 с.
. Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. - М.: Мир, 1989. - 207 с.
6. Morimoto T., Markov processes and the H-theorem. - J. Phys. Soc. Jap. 12 (1963), 328-331.
7. Яглом А. М. . - М., Наука, 1973. - 512 с.
. Рудой Ю. Г., Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике , ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.
. Романовский И.В. Дискретный анализ: Учебное пособие для студентов, 3-е изд. - СПб: Невский Диалект; БХВ Петербург, 2003.
. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е изд. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2001.
. Вернер М. Основы кодирования. Учебник для ВУЗов. - М.: Техносфера, 2004.