Функцiя, класифiкацiя функцiй
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
Функцiя, класифiкацiя функцiй
Абсолютна величина дiсного числа. "астивостi абсолютних величин.
Змiннi i сталi величини. Функцiя. Парнiсть, непарнiсть, перiодичнicть, моно-
тоннicть. Складна функцiя. Класифiкацiя функцiй. Перетворення графiкiв.
ПИТАННЯ.
1.Дiйснi числа.Абсолютна величина (модуль) дiйсного числа.Властивостi абсолютних величин.
2.Сталi i змiннi величини.Iнтервали -окрестнiсть.
3.Означення функцi ,область означення,множина значень функцi.Способи завдання функцi.Складна функцiя.
4.Парнiсть,непарнiсть функцi.Зростаючи i спадаючи функцi.Обмеженi функцi. Периодичнi функцi.
5.Класифiкацiя функцiй.
6.Перетворення грификiв.
ОЗНАЧЕННЯ.Абсолютною величиною (або модулем) дiйсного числа x (позначаСФться |x|) називаСФться невiдСФмне дiйсне число,задовольняюче умовам:
| Х, якщо Х>0
|X|= <-Х,якщо Х<0
| 0,якщо Х=0
Властивостi абсолютних величин.
1.Абсолютна величина алгебраiчноi суми декiлькох дiйсних чисел на бiльше суми алгебраiчних величин доданкiв:
|х+y||х|+|у|
ДОВЕДЕННЯ.
Нехай х+у0,тодi |х+у|=х+у|х|+|у| (поскiльки х|х| i у|у|)
Нехай х+у<0,тодi |х+у|= -(х+у)= -х+(-у)|х|+|у| що i п.б.д.
Приведене доведення поширюСФться на будь-яке число доданкiв.
2.Абсолютна величина рiзницi не менш нiж рiзниця абсолютних величин зменьшуваного i вiдСФмника:
|х-у||х|-|у|, |х|>|у|
ДОВЕДЕННЯ:
Покладемо х-у=z,тодi х=у+z i по доведеному в пунктi 1
|х|=|у+z||у|+|z|=|у|+|х-у|
Звiдки |х|-|у||х-у| що i т.б.д.
Абсолютна величина добутку дорiвнюСФ добутку абсолютних величин спiвмножникiв; |хуz|=|х||у||z|
Абсолютна величина частки дорiвнюСФ частцi абсолютних величин дiленого i дiльника; |х/у|=|х|/|у|
Останнi двi властивостi iз означення обсалютно величини.
ЗМIННI I СТАЛI ВЕЛЕЧИНИ
Змiнною величиною називаСФться величина, котра приймаСФ рiзнi численнi значення. Величина, численнi значення якоi не змiнюються називаСФться сталою величиною.
Означення. Сукупнiсть всiх численних значень змiнноi величини називаСФться областю змiнювання цiСФi змiнноi.
Промiжком або iнтервалом називаСФться сукупнiсть всiх чисел х, що мiстяться мiж даними числами а i в. Якщо промiжок замкнений, то його називають а,в. Промiжок може бути напiвзамкненим а,в. Замкнений промiжок носить назву вiдрiзка. Околом даноi точки х0 називаСФться довiльний iнтервал (а,в), що мiстить цю точку усереденi себе.
Значення змiнноi величини можуть бути безперервними (iнтервал) або дискретними (точки).
ФУНКЦIЯ.
Означення 1. Якщо кожному значенню змiнноi х, належащому деякiй областi вiдповiдаСФ одне певне значення другоi змiнноi y, то y функцiя вiд х, або в символiчному запису, y = f(x), y = (x) i т.п. х називаСФться незалежною змiнною або аргументом.
Означення 2. Сукупнiсть значень х, для котрих визначаСФться значення функцii y в силу правила f(x), називаСФться областю визначення функцii (або областю iснування функцii).
Iнодi поняття в означеннi функцii допускають, що кожному значенню х, належному деюкiй областi, вiдповiдаСФ, а декiлька значень y. В цьому випадку функцiю називають многозначною, на вiдмiну вiд означення ранiше функцii, котру називають однозначною.
В подальшому ми будемо розглядати тiльки однозначнi функцii.
ВЛАСТИВОСТI ФУНКЦII.
а Монотоннiсть
Ф-я f(х) називаСФться зростаючою,якщо для 2-х точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких ,що f(х),f(х)>f(х)
Ф-я f(х) називаСФться сподаючою,якщо для 2-х точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких , що f(х1)< f(х2)
Зростаючi , сподаючi , незростаючi , несподаючi функцii називаСФться монотонними.
б) Парнiсть
Функцiя f(х) називаСФться парною, якщо для х iз областi визначення функцii f(-х)= f(х) .
Графiк парноi функцii симетричний вiдносно осi OY.
Функцiя f(х) називаСФться непарною, якщо для х iз областi визначення функцii f(-х)= -f(х) . Графiк непарноi функцii симметричен вiдносно початку координат.
в) перiодичнiсть
Функцiя f(х) називаСФться перiодичною з перiодом l, якщо для любих х iз ii областi визначення справедливе рiвняння f(х) = f(х l).
Прикладом перiодичних функцiй СФ тригонометрiчнi функцii: sinx, cosx, tgx, ctgx.
Способи завдання функцii:
- Табличний
- Аналiтичний
- Графiчний
- За допогою функцiональноi шкали.
Складна функцiя.Неявно задана ф-я.
Якщо функцiя f вiдображаСФ множину Е вЕ1,а функцiя F вiдображаСФ множину Е1 в множину Е2 , то функцСФiю Z=F(f(х)) називають функцiСФю вiд функцii,або складною функцiСФю,або суперпозицiСФю f i F.
Можлива складна функцiя, в утвореннi котроi беруть участь n функцiй:
z= F1(F2(F3(тАж(Fn(x))тАж))).
Ми розглядали функцii вiд однiСФi змiнноi. Але можно розглядати також функцii двох трьох i взагалi n змiнних.
Функцiя вiд однiСФi змiнноi може бути задана неявним засобом за допомогою рiвностi F(x,y)=0, (*)
де F СФ функцiя вiд двох змiнних x i y.
Таким чином, Е СФ множина всiх чисел х, кожному iз котрих вiдповiдаСФ непуста множина У. Цим визначена на множенi Е деяка функцiя У= (х) вiд х, взагалi кажучi багатозначна.
В такому випадку кажуть що функцiя визначена неявно за допомогою рiвностi (*). Для неi, очевидно, виконуСФться тотожнiсть:
F(x, (х))0
По аналогii можливо також визначити функцiю х=(у) вiд змiнноi У, визнач?/p>