Фактор-группы. Cмежные классы
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
·вольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие , т.е. V = {x G | xH }. Если v, v V, то vH, vH , а так как подгруппа, то
(vH)( vH) = v vH и (vH) = v H
Следовательно, v v V и v V , т.е. V подгруппа группы G. Ясно, что H ? Vэ
(3) Отображение : U > будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что инъекция. Пусть U и V подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u U} и = { vH | v V } совпадают. Тогда для любого элемента u U существует элемент v V такой, что uH = vH. Поэтому vu H ? V ? U. Теперь u V и U ? V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и инъекция.
(4) Если N G, N S(G,H), то
(gH) (nH)(gH) = gngH N/H
для всех g G, n N. Поэтому = N/H . Обратно, если , то
gngH = (gH) (nH)(gH)
и gngH N, значит N G.
Пример: Найдем все фактор-группы группы S.
Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S, H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S единичная группа, а S/ E изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H равен 2. Поэтому S/ H циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S/ H S, S/ SE, S/ H={H,(12)H}=.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров М.:Наука, 1980.
2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов Мн.:Вышэйшая школа, 2006.